Anmerkungen zur Transkription.

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Der Text benutzt für Indizes und mathematische Symbole Sonderzeichen, die nicht in jedem Zeichensatz korrekt dargestellt werden.

Weitere Anmerkungen zur Transkription finden sich am [Ende des Buches].

Die Sammlung
»Aus Natur und Geisteswelt«

nunmehr schon über 500 Bändchen umfassend, will die Errungenschaften von Wissenschaft, Kunst und Technik weiteren Kreisen zugänglich machen und einem jeden die Möglichkeit bieten, auch auf ihm ferner liegenden Gebieten deren Fortschritte zu verfolgen.

Sie bietet wirkliche »Einführungen« in die Hauptwissensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht, wie sie den heutigen methodischen Anforderungen entsprechen – ein Bedürfnis erfüllend, dem Skizzen mit dem Charakter von »Auszügen« aus großen Lehrbüchern nie entsprechen können, da solche vielmehr eine Vertrautheit mit dem Stoffe schon voraussetzen.

Damit sie stets auf die Höhe der Forschung gebracht werden können, sind die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert, sondern werden – was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht – bei jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt. So konnte der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Über 200 Bändchen liegen bereits in 2. bis 6. Auflage vor, insgesamt hat sie bis jetzt eine Verbreitung von über 3 Millionen Exemplaren gefunden.

In den Dienst dieser Aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter Weise von Anfang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden, der Gefahr der »Spezialisierung« unserer Kultur entgegenzuarbeiten an ihrem Teil bestrebt.

So vermag die Sammlung dem Leser ein Verständnis dafür zu vermitteln, wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von allgemeinem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem selbständigen Urteil zu befähigen.

Alles in allem sind die schmücken, gehaltvollen Bände, denen von Professor Tiemann ein neues künstlerisches Gewand gegeben, durchaus geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch den billigen Preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig Begüterten, sich eine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn Wertvollste »Aus Natur und Geisteswelt« vereinigt.

Jedes der meist reich illustrierten Bändchen
ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich

Jedes Bändchen geheftet Mark 1.–, in Leinwand gebunden Mark 1.25 Werke, die mehrere Bändchen umfassen, auch in einem Band gebunden

Leipzig, 1. Januar 1915

B. G. Teubner

Jedes Bändchen geheftet M. 1.–, in Leinwand gebunden M. 1.25
*) auf Wunsch auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.–

Zur bildenden Kunst, Musik und Schauspielkunst

sind bisher erschienen:

Allgemeine Kunstwissenschaft, Kunstpflege

Bau und Leben der bildenden Kunst. Von Direktor Professor Dr. Th. Volbehr. 2. Auflage. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 68.*)

Ästhetik. Von Professor Dr. R. Hamann. (Bd. 345.*)

Kunstpflege in Haus und Heimat. Von Superintendent R. Bürkner. 2. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 77.)

Kunstgewerbe

Deutsche Kunst im täglichen Leben bis zum Schlusse des 18. Jahrhunderts. Von Professor Dr. B. Haendcke. Mit 63 Abbildungen. (Bd. 198.)

Geschichte der Gartenkunst. Von Regierungs-Baumeister Chr. Ranck. Mit 41 Abbildungen. (Bd. 274.)

Kunstgeschichte

Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst. Von Dr. E. Cohn-Wiener. 2 Bände. Mit zahlreichen Abbildungen. (Auch in 1 Band gebunden.)

Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. Mit 57 Abbild. (Bd. 317.*)

Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abbildungen. (Bd. 318.*)

Alte Kunst

Die Blütezeit der griechischen Kunst im Spiegel der Reliefsarkophage. Eine Einführung in die griechische Plastik. Von Dr. H. Wachtler. Mit 8 Tafeln und 82 Abbild. (Bd. 272.*)

Die dekorative Kunst des Altertums. Von Dr. Fr. Poulsen. Mit 112 Abbildungen. (Bd. 454.*)

Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien. Von Professor Dr. Fr. v. Duhn. 2. Auflage. Mit 62 Abbildungen. (Bd. 114.)

Michelangelo. Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von Professor Dr. E. Hildebrandt. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 392.*)

Die Renaissancearchitektur in Italien I. Von Dr. P. Frankl. Mit 12 Tafeln und 27 Textabbildungen. (Bd. 381.*)

Neuere Kunst

Die altdeutschen Maler in Süddeutschland. Von H. Nemitz. Mit einem Bilderanhang (Bd. 464.*)

Albrecht Dürer. Von Dr. R. Wustmann. Mit 33 Abbildungen. (Bd. 97.*)

Rembrandt. Von Professor Dr. P. Schubring. Mit 50 Abbildungen. (Bd. 158.*)

Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert. Von Dr. H. Jantzen. Mit zahlreichen Abbildungen. (Bd. 373.*)

Deutsche Baukunst im Mittelalter. Von Professor Dr. A. Matthaei. 3. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 8.*)

Neuere Kunst

Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18. Jahrhunderts. Von Professor Dr. A. Matthaei. Mit 62 Abbildungen und 3 Tafeln. (Bd. 326.*)

Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert. Von Professor Dr. A. Matthaei. Mit 35 Abbildungen. (Bd. 453.*)

19. Jahrh.

Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert. Von Professor Dr. R. Hamann. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57 ganzseitigen und 200 halbseitigen Abbildungen. (Bd. 448–451, in 2 Doppelbänden, auch in 1 Halbpergament zu M. 6.–)

Die Maler des Impressionismus. Von Professor Dr. B. Lázàr. Mit 32 Abbildungen und 1 farbigen Tafel. (Bd. 395.*)

Orient.

Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß auf Europa. Von Direktor Professor Dr. R. Graul. Mit 49 Abbildungen. (Bd. 87.)

Neuere Musikgeschichte

Haydn, Mozart, Beethoven. Von Professor Dr. C. Krebs. 2. Auflage. Mit 4 Bildnissen. (Bd. 92.)

Die Blütezeit der musikalischen Romantik in Deutschland. Von Dr. E. Istel. Mit 1 Silhouette. (Bd. 239.)

Das Kunstwerk Richard Wagners. Von Dr. E. Istel. Mit 1 Bildnis Richard Wagners. (Bd. 330.)

Die moderne Oper. Von Dr. E. Istel (Bd. 495.)

Musiktheorie

Die Grundlagen der Tonkunst. Versuch einer genetischen Darstellung der allgemeinen Musiklehre. Von Professor Dr. H. Rietsch. (Bd. 178.)

Musikalische Kompositionsformen. Von S. G. Kallenberg. 2 Bände. (Bd. 412, 413, auch in 1 Band gebunden.)

Bd. I: Die elementaren Tonverbindungen als Grundlage der Harmonielehre. (Bd. 412.)

Bd. II: Kontrapunktik und Formenlehre. (Bd. 413.)

Die Instrumente des Orchesters. Von Professor Dr. Fr. Volbach. Mit 60 Abbildungen. (Bd. 384.)

Das moderne Orchester in seiner Entwicklung. Von Prof. Dr. Fr. Volbach. Mit Partiturbeispielen u. 3 Tafeln. (Bd. 308.)

Klavier, Orgel, Harmonium. Das Wesen der Tasteninstrumente. Von Professor Dr. O. Bie. (Bd. 325.)

Schauspielkunst

Das Theater. Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griechischen Altertum bis auf die Gegenwart. Von Dr. Chr. Gaehde. 2. Auflage. Mit 18 Abbildungen. (Bd. 230.)

Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.

Aus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

510. Bändchen

Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen

Von

Dr. Karl Doehlemann

O. ö. Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in München

Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen

Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1916

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Vorwort.

Die Darstellung der Grundzüge der Perspektive und ihrer Anwendungen, wie sie im folgenden gegeben wird, ist hervorgegangen aus öffentlichen Vorträgen, die ich seit einer langen Reihe von Jahren in München im Volkshochschulverein halte und die von einem Publikum besucht sind, das sich aus allen Ständen und Berufsklassen zusammensetzt.

Um eine schriftliche Bearbeitung dieses Gegenstandes weiteren Kreisen zugänglich zu machen, schien es mir vor allem notwendig, das Buch mit möglichst zahlreichen Figuren auszustatten. Fast jeder größeren Aufgabe ist noch eine eigene Figur beigegeben, welche die Lage des darzustellenden Gegenstandes gegen die Bildtafel wiedergibt und eine genaue Vorstellung der räumlichen Anordnung und der vorzunehmenden geometrischen Überlegungen ermöglichen soll. Bei der Wahl der abzubildenden Gegenstände war die Klarheit und Übersichtlichkeit des Bildes maßgebend. Es mußten deswegen einfache Formen gewählt werden und diese konnten nicht immer auch in ästhetischer Hinsicht befriedigen.

Was die Abgrenzung des Stoffes betrifft, so wurde in einem einleitenden Abschnitt die Darstellung eines Gegenstandes in Grund- und Aufriß erörtert. Ich wüßte nicht, wie man das umgehen könnte. Denn es ist für den Anfänger doch unerläßlich, daß er sich einen Körper, den er in Perspektive setzt, vorher seiner Größe und Lage nach genau bestimmt.

In bezug auf Strenge der Entwicklung bin ich so weit gegangen, als es bei einer für weitere Kreise bestimmten Darstellung angängig ist: Das ist nötig, um eine sichere Grundlage zu gewinnen. Mit allgemeinen und verschwommenen Redensarten ist demjenigen nicht gedient, der zu klaren Begriffen und Vorstellungen in dem hier behandelten Gebiete gelangen will.

Was viele von der Beschäftigung mit der Perspektive abhält, ist der Umstand, daß diese Disziplin sich ohne Geometrie, also ohne mathematische Betrachtungen, nicht behandeln läßt. In der Tat werden wir im Laufe unserer Betrachtungen einige einfache Sätze aus der Planimetrie und der Stereometrie voraussetzen müssen. Aber darin liegen nicht die eigentlichen Schwierigkeiten. Diese Sätze werden die Leser verhältnismäßig leicht verstehen oder als anschauliche Tatsachen hinnehmen. Die Hauptschwierigkeit wird vielmehr die sein, daß mit all den Figuren, die im folgenden zu zeichnen sind, gewisse räumliche Vorstellungen und Überlegungen zu verbinden sind. Es wird nur durch Nachdenken möglich sein, sich in diese Dinge hineinzuleben. Nur auf diesem Wege wird man den Begriff des gesetzmäßigen, mathematischen Bildes gewinnen. Das aber ist für viele Berufsarten nötig, namentlich in der Gegenwart, in der neben dem geschriebenen und gedruckten Wort das Bild die Welt beherrscht.

Inhaltsübersicht.

Einleitung.
Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern.

§ 1. Das perspektivische Bild.

1. Zweck einer Abbildung. Nehmen wir an, wir betrachten irgendein Raumobjekt, mag es nun eine Maschine oder ein Apparat sein, ein Werk der Plastik oder der Architektur oder auch eine Landschaft. Wenn wir dann über die gegenseitige Lage der einzelnen Teile des Objektes, über die relativen Größenverhältnisse und schließlich auch über die wirklichen Maße des Gegenstandes zu einem gewissen Urteil gelangt sind, so daß der Gegenstand uns klar zum Bewußtsein gekommen ist, so sagen wir, daß wir eine Vorstellung von dem Objekte haben. Der bloße Anblick von einer Stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen. Denn jedes Objekt verdeckt sich, wenn es nicht durchsichtig ist, zum Teil selbst: wir werden vielmehr im allgemeinen mehrere Ansichten brauchen. Bei kleineren Gegenständen genügen zu diesem Zwecke etwa schon Bewegungen des Kopfes oder Oberkörpers. Ausgedehnteren Objekten gegenüber, wie zum Beispiel bei einem Gebirgsstock, sind unter Umständen ganze Wanderungen nötig, um eine wirkliche Anschauung derselben zu gewinnen.

Bildliche Darstellungen irgendwelcher Art dienen nun in erster Linie dem Zwecke, dem Beschauer die Möglichkeit zu bieten, sich von den betreffenden Objekten eine Vorstellung zu bilden, ohne daß er sie wirklich vor Augen hat. Die Bilder ersetzen also bis zu einem gewissen Grade die Objekte.

Sicher muß unser Vorstellungsvermögen schon ziemlich ausgebildet sein, wenn wir uns auf Grund einer Zeichnung ein Objekt vorstellen können. Aber wir eignen uns diese Fähigkeit durch fortgesetzte Übung an, fast ohne es zu merken. Schon dem Kinde geben wir ein Bilderbuch in die Hand; es vergleicht die Gegenstände in der Natur mit denen im Bilde und lernt dadurch allmählich Sehen. So kommt es, daß heutzutage bei uns auch der Ungebildete und Ärmste imstande ist, sich ein Gebäude oder eine Landschaft einigermaßen vorzustellen, wenn er davon eine Abbildung, etwa eine Photographie, zu sehen bekommt.

Abb. 1.

Aus alledem folgt nun, daß eine bildliche Darstellung die Gegenstände so wiedergeben muß, wie wir sie sehen, und wir werden deswegen aus dem Vorgang des Sehens eine Definition für den Begriff des »Bildes« abzuleiten haben.

2. Mechanische Vorrichtung zur Herstellung eines Bildes. Zunächst wollen wir jetzt eine Vorrichtung kennen lernen, welche es uns ermöglicht, das, was wir ein »Bild« eines Gegenstandes nennen, mechanisch herzustellen. Eine durchsichtige Glasplatte sei in einem Holzrahmen vertikal vor uns aufgestellt. Hinter der Glasplatte, von unserem Standpunkte aus gerechnet, befindet sich der abzubildende Gegenstand. Wir sehen denselben durch die Glasplatte hindurch. Um die Betrachtung zu vereinfachen, wollen wir das eine Auge schließen, also den Gegenstand nur mit einem Auge betrachten. Aber auch dann würden wir noch bei jeder Bewegung des Körpers oder Kopfes das Objekt in einer anderen Ansicht erblicken; deswegen ist es weiter nötig, unser Auge im Raume zu fixieren: man erreicht dies, indem man noch ein Stativ mit einer undurchsichtigen Platte anbringt, in welche eine kleine Öffnung, ein Guckloch, geschnitten ist. Wir wollen nun den Gegenstand betrachten, indem wir das Auge ganz nahe an dieses Guckloch bringen; dadurch ist dem Auge eine feste Stelle im Raume angewiesen. Man vergleiche dazu auch die [Abbildung 1], welche dem Buche von Albrecht Dürer: »Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit«, Nürnberg 1525, entnommen ist. Rechts erkennt man den von uns beschriebenen Apparat, als Objekt dient der links im Lehnstuhl sitzende Mann.

Wir nehmen ferner an, daß die Glasplatte auf der dem Auge zugewandten Seite so präpariert sei, daß wir auf ihr zeichnen können, was etwa durch Bestreichen mit Damarlack zu erreichen wäre. Nun endlich gehen wir dazu über, die Linien des Körpers, wie wir sie von dem Guckloch aus sehen, auf der Glasplatte nachzuzeichnen. Es decken sich also für mein Auge die gezeichneten Linien und die wirklichen Konturen des Gegenstandes.

Nachdem die Zeichnung fertiggestellt ist, denken wir uns das Objekt entfernt. Die Glasplatte bestreichen wir auf der Rückseite mit weißer Deckfarbe, so daß sie undurchsichtig wird; im übrigen bleibt sie an der gleichen Stelle. Die auf der anderen Seite befindliche Zeichnung wird dann auf das an dem Sehloch befindliche Auge annähernd den gleichen Eindruck machen wie der Gegenstand selbst; ich werde ihn immer noch vor mir zu sehen glauben. Weil also diese Zeichnung eine Vorstellung des Gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist, nennen wir sie ein »Bild« des Gegenstandes. Freilich enthält unser Bild nur Linien; von den Unterschieden der Helligkeit, von Licht und Schatten, von der Farbe des Objektes haben wir ganz abgesehen. Aber man kann nicht alles auf einmal erreichen; es wäre eine zweite Aufgabe, auch diese Eigenschaften im Bilde wiederzugeben. Die erste und wichtigste Aufgabe ist jedenfalls die Herstellung einer Linienzeichnung, welche die Umrisse und überhaupt die wichtigsten Linien des Gegenstandes wiedergibt. Ja, sie genügt in vielen Fällen schon ganz allein. Denn gerade die Linie wirkt mit einer ganz wunderbaren Kraft und Stärke auf unsere Vorstellung.

3. Definition des perspektivischen Bildes. Wir müssen jetzt aber dazu übergehen, für den Begriff des Bildes eine mathematisch strenge Herleitung zu geben, indem wir aus dem Vorgange des Nachzeichnens auf der Glastafel das rein Geometrische herausschälen.

Fig. 1.

Statt der Glastafel denken wir uns eine ebene Fläche, also eine mathematische Ebene Π, gewählt; sie ist gegeben durch das Blatt Papier, das Reißbrett oder die Schultafel, auf der die Zeichnung hergestellt wird. Wir nennen diese Ebene kurz die »Bildebene« oder auch die »Tafel«. Der abzuzeichnende Körper sei ebenfalls ein mathematischer, nämlich ein Würfel abcdefgh. In [Fig. 1] geben wir zunächst eine Darstellung des ganzen Vorganges. Statt der kleinen Öffnung, durch welche wir hindurchsehen, denken wir uns einen Punkt O im Raume gegeben, den wir in Erinnerung an unseren Apparat immer noch das »Auge« nennen. Wenn wir ferner an dem Gegenstand einzelne Linien ins Auge faßten und sie auf der Glastafel nachzeichneten, so lösen wir jetzt diese Linien in einzelne Punkte auf und betrachten zunächst einen Punkt des Körpers, z. B. die Ecke a. Was heißt es nun, daß wir auf der Glasplatte die verschiedenen Punkte des Gegenstandes nachzeichneten? Offenbar befinden sich dann der betreffende Punkt a, die Bleistiftspitze a', welche ihn auf der Glastafel markiert, und das Guckloch in einer geraden Linie. Denn wenn sich zwei Punkte im Raume für mein Auge decken, so liegen sie auf einer Geraden durch das Auge. Darauf beruht ja alles Visieren. Mathematisch ausgedrückt heißt das aber folgendes: wir ziehen durch den Punkt O eine Gerade nach dem Punkte a und bringen diese zum Schnitt mit der Bildtafel. Der Schnittpunkt ist eben a'. Wir nennen a' das »Bild« oder den »Riß« des Punktes a. Die durch O gehenden Geraden oder Strahlen bezeichnen wir als »Projektionsstrahlen« oder »Projizierende Strahlen« oder »Sehstrahlen«, den ganzen Vorgang als »Zentralprojektion«.

Fig. 2.

Denken wir uns nach allen Punkten der Linien des Gegenstandes diese Strahlen gezogen und mit der Bildebene zum Schnitt gebracht, so bilden alle diese Schnittpunkte das, was wir »ein perspektivisches Bild« des Objektes oder auch eine »Perspektive« des Würfels heißen.

In [Fig. 2] ist ein solches Bild a'b'c'd'e'f'g'h' in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Die Bildebene Π ist hier die Ebene des Zeichenblattes. Oft wird auch nicht nur der ganze geometrische Prozeß, sondern das Bild selbst als eine Zentralprojektion bezeichnet. Wie sich für unser Auge die Ansicht eines Körpers ändert und immer wieder anders erscheint, wenn wir unseren Standpunkt dem Körper gegenüber verändern, so ist dieses perspektivische Bild auf der Bildtafel von zwei Faktoren abhängig: nämlich erstens davon, wie der Punkt O gegenüber der Bildtafel angenommen wird, und zweitens davon, welche Lage der Körper zur Bildtafel einnimmt. Sind aber der Punkt O und der Körper fest angenommen, so ist auch das Bild vollständig bestimmt. Man kann also sagen:

Satz 1. Sind die Bildebene Π, das Auge O und der Körper im Raume gegeben, so erhält man das perspektivische Bild des Körpers als den Schnitt der nach den Punkten des Körpers gehenden Projektionsstrahlen mit der Bildebene.

Unter »Perspektive« versteht man weiter auch die Lehre, wie man solche Bilder unmittelbar auf der Zeichenfläche mit Bleistift, Lineal und Zirkel konstruiert, ohne den mühsamen Prozeß des Nachzeichnens auf einer Glastafel durchführen zu müssen. Da es sich für uns bloß um die Wiedergabe der Linien des Körpers handelt, so spricht man auch von »Linearperspektive« oder »Linienperspektive«.

Solche perspektivische Bilder hat jeder schon oft gesehen; denn jede Photographie ist eines. Wir werden später zeigen, daß der photographische Apparat rein mechanisch derartige Bilder herstellt.

Den Begriff der Zentralprojektion gewannen wir als eine Vereinfachung des Vorganges des Nachzeichnens: er ist eine mathematische Abstraktion aus dem Sehprozeß. Wir werden nicht erwarten dürfen, daß sich diese mathematische Operation mit dem Begriff des Sehens deckt. Denn der physiologische Vorgang des Sehens ist ja tatsächlich auch ein äußerst verwickelter. Wir sehen nicht mit einem Auge, sondern mit beiden Augen, und wir halten die Augen nicht ruhig, sondern bewegen sie nach allen Seiten hin und her; wir tasten den Körper mit den Augen förmlich ab. Trotzdem leistet uns der Vorgang der Zentralprojektion schon in seiner rohen Annäherung wertvolle Dienste. Denn die perspektivischen Bilder sind unter allen gesetzmäßig definierten Abbildungen weitaus die anschaulichsten und naturgetreuesten. Bevor wir aber dazu übergehen, die Gesetze und Herstellungsweisen dieser Bilder zu erörtern, müssen wir davon handeln, wie man noch auf andere Weise Bilder oder Abbildungen von räumlichen Gegenständen erhalten kann.

§ 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß.

4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene. Hängen wir einen schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht, vermittels eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so nimmt der Faden, nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem Einfluß der Anziehung der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche nach dem Erdmittelpunkt hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung »lotrecht« oder »vertikal«. Denken wir uns weiter unter dem Faden ein Gefäß mit einer Flüssigkeit, z. B. Wasser oder Quecksilber, so bildet deren Oberfläche eine Ebene, die wir als »wagrecht« oder »horizontal« bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß die Richtung des Fadens auf der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja auch den sog. »Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes werden beim Bau eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet und die Mauern lotrecht aufgeführt.

Fig. 3.

Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für den folgenden mathematischen

Satz 2. »Ist eine Ebene Π₁ gegeben und ein Punkt p außerhalb derselben ([Fig. 3]), so kann man von dem Punkte auf diese Ebene immer eine Senkrechte oder ein Lot fällen. Diese Senkrechte schneidet die Ebene in einem Punkte, den wir p₁ nennen wollen. Er mag der Fußpunkt der Senkrechten heißen. Der Abstand des gegebenen Punktes von der gegebenen Ebene ist gleich der Entfernung, welche der gegebene Punkt p und der Fußpunkt p₁ bestimmen, also = der Strecke pp₁.«

Die Ebene Π₁ kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der »Vertikalen« zusammen.

Fig. 4.

5. Der gerade (rechtwinklige) Riß. Den Fußpunkt p₁ der von einem Punkte p auf eine Ebene Π₁ gefällten Senkrechten nennt man den geraden oder rechtwinkligen oder orthogonalen Riß des Punktes p auf die Ebene Π₁. Die Ebene Π₁ heißt wieder die Bildtafel, Bildebene oder kurz Tafel. Statt Riß wird auch das Wort Projektion gebraucht, das allerdings gleichzeitig den ganzen Vorgang bezeichnet. Man sagt auch: der Punkt p ist orthogonal auf die Ebene Π₁ projiziert worden.

Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden. Es sei z. B. ein Würfel abcdefgh gegeben und die Ebene Π₁; wir erläutern den ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch die [Fig. 4]. a sei eine Ecke des Würfels. Wir denken uns durch a das Lot zur Ebene Π₁ gezeichnet, welches in a₁ die Tafel Π₁ durchsetzt. a₁ ist der gerade Riß des Punktes a. Eine zweite Ecke b des Würfels liefert ebenso den Riß b₁. Dann wird man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke ab Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke a₁b₁ liegen, d. h. a₁b₁ ist der Riß von ab. Führen wir die Projektion für alle Ecken und Kanten des Würfels durch, so erhalten wir die Figur a₁b₁c₁d₁e₁f₁g₁h₁, die den orthogonalen Riß des Würfels in der Ebene Π₁ gibt. In [Fig. 5] ist weiter ein solcher Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die Ebene des Papiers als Tafel Π₁ gewählt. Der Würfel selbst schwebt im Raume über der Buchseite.

Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu beweisenden Satz zu veranschaulichen:

Satz 3. Die geraden Risse paralleler Geraden sind selbst wieder parallel.

Beispielsweise sind ab und cd zwei im Raume parallele Gerade, und ihre Risse a₁b₁ und c₁d₁ sind ebenfalls parallel.

Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer solchen Darstellung kennen lernen.

Fig. 5.

A sei eine Gerade, welche senkrecht auf der Tafel Π₁ steht ([Fig. 6]). Wählen wir auf ihr beliebig einen Punkt a, so fällt das Lot, das man von ihm aus auf die Tafel fällen kann, natürlich mit der Geraden A zusammen, und der rechtwinklige Riß des Punktes a wird der Punkt a₁, in dem die Gerade A die Bildebene durchbohrt. Aber auch jeder andere Punkt b, c … von A hat einen Riß b₁, c₁ …, der stets mit a₁ sich deckt. Mit anderen Worten: Die Gerade A, welche auf der Bildtafel senkrecht steht, hat als Riß einen Punkt, ihren Schnittpunkt mit der Tafel.

Stellen wir uns ferner eine Ebene efki vor ([Fig. 6]), welche auf der Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer, wenn Π₁ horizontal gedacht wird, und ist ef die Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser Ebene auf die Linie ef. Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine Gerade, nämlich die Schnittlinie der Ebene mit der Tafel.

Fig. 6.

Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen, verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z. B. in [Fig. 6] defghikl ein Würfel, der mit seiner einen Fläche defg in der Tafel liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses Quadrat defg. Die vier Kanten dh, ei, fk, gl erscheinen als Punkte, und die vier Ebenen deih, efki, fglk und gdhl, welche auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die Projektion in die Geraden de, ef, fg, gd über. Setzen wir aber auf diesen ersten Würfel einen zweiten Würfel hiklmnop, so hat dieser zweite Würfel den gleichen Riß defg, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende Prisma defgmnop hat den Riß defg. [Fig. 7] gibt wieder die wahre Gestalt der Risse.

Fig. 7.

Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder Plan einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch diese rechtwinkligen Risse als Bilder der betreffenden Gegenstände bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 m, auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 m über der Stadt auf, so wird schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken ([Fig. 6]), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach:

Satz 4. Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das Bild, wie es einem Beobachter erscheint, der sich unendlich weit von der Bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie herunterschaut.

Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme.

6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse. Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand vollständig durch Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da ein Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns noch einen zweiten Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also noch eine zweite Bildtafel Π₂, die der Einfachheit wegen auf der ersten Bildtafel Π₁ senkrecht stehe. Die in [Fig. 8] gegebene Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke a des Würfels liefert in der ersten Tafel Π₁ den Riß a₁. Außerdem hat der Punkt a aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten denselben nach unserer Definition, indem wir uns von a eine Senkrechte zu Π₂ konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte in a₂ die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von a in der Π₂. Wir nennen a₁ den ersten, a₂ den zweiten Riß des Punktes a. Wie ferner der Würfel abcdefgh in der Π₁ den Riß a₁b₁c₁d₁e₁f₁g₁h₁ liefert, so läßt sich nun auch der zweite Riß a₂b₂c₂d₂e₂f₂g₂h₂ des Würfels in der Π₂ konstruieren. Die beiden Risse werden also durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste Tafel Π₁ können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π₂ ist dann eine Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit erscheinen wieder Gerade, welche zur Aufrißebene Π₂ senkrecht stehen, in ihr als Punkte und Ebenen, welche auf Π₂ senkrecht stehen, bilden sich als Gerade in der Π₂ ab.

Fig. 8.

Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π₁ und Π₂ etwa in Holz gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert ([Fig. 8]). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume bestimmen. In der Tat sind z. B. a₁ und a₂ die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt a₁ der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π₁, und ebenso konstruieren wir im Punkte a₂ der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke a. In der gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:

Satz 5. Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume bestimmt.

Fig. 9.

7. Das Zusammenlegen der Tafeln. Es wäre recht unbequem, wollte man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen, wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen soll. Was wir wollen, ist eine auf einem Blatte befindliche Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen lassen. Es sei K die Schnittlinie der beiden Tafeln ([Fig. 9]), die wir kurz die Kante nennen. Wir drehen nun die Π₂ um K wie um ein Scharnier so lange, bis Π₂ mit Π₁ zusammenfällt.

Die [Figur 9] veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang. Der beliebige Punkt a hat als ersten Riß den Punkt a₁, als zweiten Riß den Punkt a₂' Es fragt sich, wohin a₂' gelangt, wenn die Aufrißebene Π₂ durch die Drehung mit der Grundrißebene zur Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten aa₁ und aa₂' bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante K senkrecht steht. Der Schnittpunkt dieser in [Fig. 9] schraffierten Ebene mit der Kante K sei a. Es ist also jetzt sowohl a₁a ⊥ K[1] als auch a₂'a ⊥ K. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt a₂' einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius a₂'a, der in der schraffierten Ebene a₁aa₂'a liegt. Ist also a₂ die Lage, welche a₂' nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch a₂a ⊥ K sein; demnach fällt a₂ auf die Verlängerung der Linie a₁a, und es ist a₂a = a₂'a.

[1] ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf.

Fig. 10.

In [Fig. 10] bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die Aufrißebene vorstellt. Die Kante K ist als eine horizontale Linie darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse a₁ und a₂ offenbar auf einem Lote zur Kante K gelegen sein; der Schnittpunkt des Lotes a₁a₂ mit K ist der Punkt a. Es folgt also:

Satz 6. Nach der Umlegung der Aufrißebene in die Grundrißebene liegen die beiden Risse eines Punktes stets auf einer Senkrechten zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.

Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer Senkrechten zu K liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung a₁ als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung a₂ als zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen ganz bestimmten Punkt a im Raume. Um uns denselben vorzustellen, denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der a₂ liegt, um K in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre Lage gebracht, und wir finden den Punkt a auf die Weise wie es in 6. auseinandergesetzt wurde.

Fig. 11.

Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in [Fig. 9]

aa₁ = a₂'a = a₂a.

Es gibt also in [Fig. 10] die Strecke a₂a den Abstand des Punktes von der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in a₁ eine Senkrechte zur Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch a₂a gegeben ist.

Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im Raume annimmt. In den Figuren [9] und [10] ist noch ein zweiter Punkt b eingetragen.

In [Fig. 11] sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich gezeichnet, von dem die [Fig. 8] die Lage im Raume angab. Diese hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt. Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »Schrägbilder« oder »Parallelprojektionen«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, 8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen »Projektionslehre« in dieser Sammlung.

Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender mit den perspektivischen Bildern beschäftigen.

Der perspektivische Entwurf.

§ 3. Die Schnittmethode.

8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß. Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden, so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: a) die Bildtafel (Zeichenebene); b) das Auge O; c) den Gegenstand. Wir behandeln wieder ein einfaches Beispiel.

Aufgabe 1. Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso das Auge O; man zeichne ein perspektivisches Bild des Würfels, wenn die Bildebene auf der Kante des Tafelsystems senkrecht steht.

Die Bildebene Π gehe durch den Punkt Z der Kante ([Fig. 12]) und enthalte die beiden Linien ZX und ZY, welche in der Π₁ und in der Π₂ je senkrecht zur Kante K gezogen werden können. Gleichzeitig ist ZX der erste und ZY der zweite Riß der Bildebene Π. Das Auge O habe die Risse O₁ und O₂. Der abzubildende Würfel abcdefgh liegt mit der Fläche abcd auf der Grundrißebene. Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang wirklich durchzuführen, also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene Π zu projizieren. Führen wir dies etwa für die Ecke e durch.[2] Wir verbinden O mit e, dann ist O₁e₁ der erste Riß, O₂e₂ der zweite Riß dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von Oe mit Π sei e'; der erste Riß von e' kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von O₁e₁ mit ZX. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit e₁'. Ebenso ist der zweite Riß des Punktes e' der Schnittpunkt e₂' von O₂e₂ mit der Linie ZY. Natürlich fallen alle ersten Risse unseres Bildes auf die Gerade ZX, alle zweiten auf ZY.

[2] Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des Textes selbst herzustellen. Es erleichtert das Verständnis ungemein, wenn man die Figur allmählich entstehen sieht.

Fig. 12.

Nun wollen wir aber doch das Bild selbst in seiner wahrer Gestalt auf unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen wir die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (Z) der Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (Z)(X) und (Z)(Y). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der Π₂ gelegene Senkrechte (Z)(Y) so lange, bis sie mit der Π₂ sich deckt.

Verfolgen wir den Punkt e' bei diesen verschiedenen Schritten. Bei der Verschiebung der Ebene Π in die Lage (Y)(Z)(X) wird e₁' eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch e₁' eine Parallele zur Kante K, so schneidet diese die Linie (Z)(X) in (e₁'). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (e₁') einen Viertelskreis um (Z) und gelangt nach e₁^*. Dann liegt aber der Punkt e' auf der Senkrechten, welche in e₁^* zur Kante gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher e' über der Π₁ liegt, ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie ist durch Ze₂' gegeben. Tragen wir also auf der in e₁^* errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen wir durch e₂' eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der Senkrechten in e₁^* den Punkt e' aus.

Bequemer ist es, einfach (Z)e₁^* = Ze₁' mit dem Zirkel auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in e₁^* dann weiter e₁^*e' = Ze₂' abzuschneiden. Man kann dazu auch noch [Fig. 1] vergleichen. Dort ist die erste Tafel Π₁ angegeben als eine horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch K und AY. Vom Punkte e' sind die Risse e₁ und e₂ eingetragen.

Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen Ecken und erhält so das Bild a'b'c'd'e'f'g'h' des Würfels. Um die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem Auge zunächst die Kanten bc, cg, gf, fb ferner gh, he, ef. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten cd, da, ab, dh, he, ea werden dem in O befindlichen Auge durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw. Unsichtbarkeit«.

Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser Bild b'c'g'h'e'f' zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von dem Zentrum O aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster Riß ist eine Parallele durch O₁ zur Kante, ihr zweiter Riß eine Parallele durch O₂ zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, die auch in [Fig. 1] eingetragen ist, heiße A. Die Risse A₁ und A₂ desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen mit ZX bzw. ZY. Daraus finden wir die Lage von A wiederum, indem wir zunächst die Parallele durch A₁ und (Z)(X) zum Schnitt bringen in (A₁), dann durch einen Viertelskreis (Z)A₁^* = (Z)(A₁) machen. Auf der in A₁^* errichteten Senkrechten schneidet die Parallele durch A₂ wieder den Punkt A aus. Jetzt wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten liegt, die in A zur Zeichenebene gedacht werden kann.

Fig. 13.

Weiter gibt nun aber die Strecke O₁A₁ oder auch O₂A₂ die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten in A zur Ebene des Blattes uns das Auge O denken müssen. Bringen wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen, da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 cm von unserem Auge entfernt halten müssen.

Man nennt den Punkt A den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« O; die Entfernung OA des Projektionszentrums O von der Bildebene, also die Strecke O₁A₁ oder O₂A₂ heißt die »Distanz«.

Abb. 2.
Methode der mech. Konstruktion einer Perspektive mittels des Reileschen Apparates.

9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive. Geht man vom Grundriß des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte Verfahren wesentlich darauf, daß man die Höhe ermittelt, in der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch das Auge O parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die »Horizontebene« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden hh, welche durch den Hauptpunkt A geht und der »Horizont« genannt wird ([Fig. 13]). Es sei nun ein Punkt a gegeben, der von O aus gerechnet vor der Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene Π₁ in der Geraden gg schneidet. Dann können wir das Bild a' wieder in folgender Weise bestimmen. Die von a auf Π₁ gefällte Senkrechte trifft Π₁ im Risse a₁, die Horizontebene dagegen im Punkte (a₁). Verbinden wir O₁ mit a₁, so ist dies der Riß des Sehstrahles Oa. O₁a₁ trifft die Gerade (gg) in a₁', und auf der in a₁' gelegenen Senkrechten liegt das Bild a'. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (a'), so ist die Linie O(a') parallel zu O₁a₁', und zur Berechnung der Höhe a'(a') kann die Proportion dienen:

^a'(a')/_a(a1) = ^O(a')/_O(a1).

Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch O₁a₁' : O₁a₁ ersetzt werden. Zieht man ferner durch a₁ eine Parallele zu gg, welche O₁A₁ in X trifft, so wird dies Verhältnis auch durch O₁A₁ : O₁X gegeben, so daß man schließlich erhält

(1) ^a'(a')/_a(a1) = ^O₁A₁/_O1X.

Die Strecke a(a₁) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont.

Ist nun ([Abbildung 2]) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II gegeben und ist die Bildebene um gg in die Grundrißebene umgeklappt, so läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe a'(a') ermitteln. Man zieht durch den Riß a₁ eine Parallele zu hh, welche auf O₁A₁ den Punkt X liefert. Auf dieser Parallelen trägt man ferner die Höhe ab, in der der Aufriß von a über dem Horizont liegt, macht also XY = a₂a_h, wo a₂a_h aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt Y mit O₁, so schneidet diese Linie aus gg den Punkt B₁ aus, und es gilt nun die Proportion:

(2) ^B₁A₁/_XY = ^O₁A₁/_O1X.

Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten einander gleich sein, und da XY = a₂a_h = a(a₁), so ist B₁A₁ = a'(a').

In B₁A₁ ist mithin die Höhe des Bildes von a über dem Horizont ermittelt. Verbindet man demnach noch a₁ mit O₁, so liefert diese Linie auf gg den Punkt a₁'. Auf dem in a₁' errichteten Lote liegt a' und wird erhalten, wenn man vom Horizont aus B₁A₁ anträgt, also (a')a' = B₁A₁ macht.

Herr Kunstmaler Adolf Reile in Stuttgart hat in der Zeitschrift für gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen Apparat angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch zu konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen L und R sind durch ein Gelenk miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der Geraden gg geführt, indem die Reißschiene R an der oberen Kante AD des Reißbrettes ABCD hingleitet. Die Reißschiene L geht immer durch O₁ hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch eine Stecknadel in O₁ festgehalten ist, während die Schiene L durch die Hülse hindurchgleitet.

Um die obige Konstruktion auszuführen, legt man zunächst eine gewöhnliche Reißschiene R' durch a₁, bestimmt durch Abgreifen mit dem Zirkel Y und verschiebt sodann L so lange, bis es durch Y geht. Die Kuppelung befindet sich nun in B₁, und die Schiene R bestimmt auf dem Horizont die gesuchte Strecke AB = A₁B₁. Legt man endlich L durch a₁, so gibt die Schiene R das Lot in a₁', und längs derselben kann AB angetragen werden. Da das Objekt bei der in [Abb. 2] gemachten Annahme vor der Bildebene liegt, so wird es durch die Perspektive vergrößert.

Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt Perspektiven mechanisch herstellen; so haben G. Hauck und E. Brauer einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem ein freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen Stiften den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782.

Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als die »Schnittmethode« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber keinen Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine Eigenschaften solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in [Fig. 12] die vier Linien b'a', c'd', g'h', f'e' hinreichend verlängert durch einen Punkt, nämlich durch A, und es leuchtet ohne weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil verwendet werden kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen Satz zu beweisen, der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen Bilder liefert.

§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt.

10. Der Fluchtpunkt einer Geraden. Wir erinnern zunächst an folgenden, auch der Anschauung leicht zugänglichen Satz: »Irgend zwei parallele Gerade im Raume bestimmen eine Ebene, und jede Gerade, welche diese beiden parallelen Geraden schneidet, liegt ebenfalls ganz in dieser Ebene.«

Dieser grundlegenden Behauptung der Geometrie kann man auch folgende andere Fassung geben:

»Ist eine Gerade G gegeben und ein Punkt O ([Fig. 14]) und verbindet man den Punkt O mit beliebigen Punkten a, b, … von G, so liegen alle diese Verbindungslinien in einer Ebene, und dieser Ebene gehört auch die Gerade J an, welche durch O parallel zu G gezogen werden kann.«

Es sei nun weiter die Bildtafel Π gegeben sowie das Auge O; es soll das perspektivische Bild der Geraden G gezeichnet werden. Dieses Bild G' erhält man, wenn man die Bilder der einzelnen Punkte a, b, c, … von G aufsucht. Man hat also die Projektionsstrahlen Oa, Ob, Oc, … mit Π zum Schnitt zu bringen. Alle diese Punkte a', b', c' … liegen dann aber auf der Geraden G', in welcher die Ebene der Projektionsstrahlen Oa, Ob, Oc, … die Tafel Π durchsetzt. In der Ebene dieser Projektionsstrahlen liegt nun nach dem obigen Satze auch der Strahl J, der durch O parallel zu G gezogen werden kann. Trifft er in f die Tafel, so muß also G' auch durch f gehen.

Die Gerade G schneidet ferner die Tafel Π in einem Punkte s; er heißt die »Spur« der Geraden, und er muß selbstverständlich auch auf G' gelegen sein.

Fig. 14.

Der Punkt f dagegen heißt der »Fluchtpunkt« oder die »Flucht« oder auch der »Verschwindungspunkt der Geraden G«. Diese sehr treffende Bezeichnung erklärt sich in folgender Weise. Lassen wir einen Punkt sich auf der Geraden G von der Spur s aus nach links immer weiter und weiter fortbewegen, so daß er die Lagen a, b, c, … annimmt, so werden sich die Bilder a', b', c' … dem Fluchtpunkt f mehr und mehr nähern. Ist der Punkt auf der Geraden G schon sehr weit hinausgerückt, so wird das Bild des Punktes ziemlich nahe an f liegen. Aber allerdings gibt es keinen erreichbaren Punkt auf G, dessen Bild wirklich nach f fiele. Denkt man sich die Gerade G als eine materiell hergestellte, sehr lange, dünne Stange aus Draht oder Holz und Π wieder als Glastafel und visiert ein in O angebrachtes Auge die Stange ein, so wird ihr Ende nahezu in f erscheinen, die Gerade »verschwindet« in f. Das Bild G' läuft verlängert durch den Fluchtpunkt, oder es »flieht« nach f.

Wir geben nochmals an, wie der Fluchtpunkt einer Geraden zu konstruieren ist:

Satz 7. Der Fluchtpunkt einer Geraden wird erhalten, wenn man durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zieht. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Tafel (die Spur dieses Parallelstrahles) ist der Fluchtpunkt der Geraden.

Das Bild G' wird man zeichnen können, wenn man 2 Punkte desselben bestimmt hat. Als solche bieten sich ganz von selbst die Spur s und die Flucht f dar. Man kann also sagen:

Satz 8. Das Bild einer Geraden ist die Verbindungslinie ihrer Spur und ihres Fluchtpunktes.

Um ein Beispiel zu haben, betrachten wir [Fig. 12]. Wählen wir die Kante ab des Würfels. Der Fluchtpunkt dieser Geraden ergibt sich, wenn wir durch O die Parallele zeichnen. Da die Kante auf der Tafel ZXY senkrecht steht, so ist diese Parallele die Linie OA und A ist der Fluchtpunkt. Es geht also in dem perspektivischen Bilde rechts oben a'b' verlängert durch A.

11. Der Satz vom Fluchtpunkt. Denken wir uns nun ([Fig. 14]) eine zweite Gerade H gegeben, welche zu G parallel sein soll. Die Spur von H sei der Punkt s'. Dann weiß man, daß die Linie J oder Of auch parallel zu H, und dies besagt doch nichts anderes, als daß f auch der Fluchtpunkt der Geraden H sein muß. Das perspektivische Bild H' der Geraden H läuft folglich durch f und durch s'. Ebenso wäre für jede andere Gerade, welche zu G parallel ist, f der Fluchtpunkt. Die Bilder G' und H' der parallelen Geraden G und H laufen also im gemeinsamen Fluchtpunkt f zusammen. Damit erhalten wir den die ganze Lehre von der perspektivischen Zeichnung beherrschenden

Satz 9. Sind eine Anzahl paralleler Geraden im Raume gegeben, so sind die perspektivischen Bilder dieser Geraden nicht parallel, sondern sie laufen, hinreichend verlängert, durch einen Punkt, den gemeinsamen Fluchtpunkt der parallelen Geraden.

Fig. 15.

Man beachte, daß im Gegensatze dazu bei der orthogonalen Projektion nach [Satz 3 (S. 7)] parallele Gerade im Raume auch stets Bilder haben, die wieder parallel sind. Die [Figur 12] liefert uns auch sofort ein Beispiel für die Anwendung dieses Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir an dem dort dargestellten Würfel die 4 Kanten ba, cd, gh, fe, so erkennt man leicht, daß dieses 4 parallele Gerade sind. A ist offenbar der gemeinsame Fluchtpunkt derselben, und die Bilder b'a', c'd', g'h', f'e' laufen demnach verlängert durch A.

Eine aufmerksame Betrachtung der [Fig. 12] kann uns übrigens darüber belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder parallel sind. So sind die vier Geraden bc, ad, eh, fg offenbar im Raume parallel, und ihre Bilder b'c', a'd', e'h', f'g' sind ebenfalls parallel. Die gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten ae, bf, cg, dh. Betrachten wir nun, um dies klar zu übersehen, eine Gerade G, welche zur Bildebene Π parallel ist ([Fig. 15]). Das Bild G' derselben ergibt sich wieder, wenn wir nach allen möglichen Punkten von G die Projektionsstrahlen legen und diese mit der Tafel zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine Ebene, und diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild G' aus. Wenn wir nun angenommen haben, daß die Gerade G zur Bildtafel Π parallel ist, so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade G kann also auch G' nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist G parallel G'.

Ist nun H eine zweite zu G parallele Gerade, so folgt ganz in der gleichen Weise, daß auch H parallel zu H' ist, und daraus folgert man sofort, daß auch G' parallel H' ist. Diese beiden parallelen Geraden G und H haben also parallele Bilder G' und H'. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des Fluchtpunktsatzes aussprechen als

Satz 10. »Parallele Geraden, welche überdies zur Bildebene parallel laufen, haben auch parallele, perspektivische Bilder; die Bilder solcher Geraden sind zu den Geraden selbst parallel.«

Fig. 16.

12. Das Fluchtpunktgesetz in der Erscheinungswelt. Der Begriff der Zentralprojektion war abgeleitet aus dem Vorgang des Sehens, den wir jetzt etwas genauer untersuchen müssen. Das menschliche Auge entwirft von beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die dadurch entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem bestimmten, im Auge gelegenen Punkte o auf die Netzhaut projiziert. In [Fig. 16] ist das allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen wiedergegeben. Als Objekte sind die beiden parallelen Pfeile ab und cd gewählt. o ist das Zentrum, und die von o nach den Punkten a, b, c, d gehenden Strahlen schneiden die Netzhaut in den Punkten a', b', c', d'. So entstehen die Bildchen a'b' und c'd'. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die hier zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten. Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche auf verschiedenen Seiten des Zentrums o. Das letztere äußert sich dadurch, daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden. So sind z. B. die Pfeilspitzen a', c' unten gelegen. Mit dem Augenspiegel kann man das direkt beobachten. Denkt man sich weiter durch o die Parallele zu ab gezogen, so schneidet diese die Netzhaut in einem Punkte f, den wir als den Fluchtpunkt aller zu ab parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der Pfeil ab ist, desto mehr strebt das Bildchen a'b' dem Punkte f zu. Die beiden Bilder a'b' und c'd' laufen verlängert durch f, und diese Tatsache drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem sich die beiden Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das auf Schritt und Tritt beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange Strecke geradlinig verläuft, so scheinen die Häuser am Ende derselben zusammenzurücken, ebenso die Trambahnschienen und die Gesimslinien ihrer Gebäude. Eine geradlinige Allee schließt sich scheinbar in der Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer Korridor. Am großartigsten zeigt sich die Erscheinung, wenn die Sonnenstrahlen durch eine Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem geradlinigen Verlauf sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der Landschaft beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen, sind nun parallel, da wir Strahlen, die von einem Punkte der Sonne ausgehen, als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen diese Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte derselben. So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in jedem Moment zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße gehen, ohne ihn zu erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor Augen haben, wird durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt.

§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes.

Fig. 17.

13. Die festen Elemente. Wir wollen nun einen anderen Weg einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es ist dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf die wir die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir uns wieder als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände werden sich nun in den meisten Fällen auf einer horizontalen Bodenfläche befinden; wir führen dementsprechend eine zur Tafel senkrechte, wagrechte Ebene ein, die wir kurz die »Grundebene« nennen. Die Figuren [17] und [18] geben wieder eine Ansicht aller zu benutzenden Gebilde. Die Grundebene Π₁ wird die Tafel Π in einer Geraden gg schneiden, welche »Grundlinie« heißen soll. Von dem im Raume gegebenen Auge O fällen wir eine Senkrechte auf die Tafel, deren Fußpunkt der schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt A ist. Da die Linie OA demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann man durch OA eine Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese Parallelebene schneidet aus der Tafel eine Linie hh aus, welche parallel zur Grundlinie gg sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet wurde. Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand des Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand der Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt. Endlich tragen wir noch die Distanz OA vom Augpunkt aus nach beiden Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte D₁ und D₂ erhalten. Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also AD₁ = AO = AD₂, so sind die Dreiecke D₁OA und D₂OA beide gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢ AD₁O = ∢ AD₂O = 45°.

In der Zeichenebene geben wir uns also ([Fig. 19]) zwei parallele Linien hh und gg und auf der oberen den Punkt A sowie im gleichen Abstande rechts und links die Punkte D₁ und D₂. Die Lage des Auges im Raume ist damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die wir uns im Punkte A zur Zeichenebene errichtet denken, und zwar in einem Abstande von A, der gleich AD₁ oder AD₂ ist.

Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade T liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu, wie wir ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen und darunter die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche erfolgt. Wir nennen aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte Gerade T eine »Tiefenlinie« ([Fig. 18] oben). Die durch das Auge O zu einer solchen Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der Strahl OA, und folglich ist nach [Satz 7] A ihr Fluchtpunkt. Damit haben wir aber bewiesen:

Satz 11. »Der Augpunkt A ist der Fluchtpunkt für alle Tiefenlinien, d. h. die Bilder aller Tiefenlinien gehen verlängert durch den Augpunkt.«

Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die im Bilde fehlende dritte Dimension fest.

Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π₁ gegeben und außerhalb derselben ein Punkt O, so gibt es durch O nur eine Ebene, welche zu Π₁ parallel ist.«

Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen: »Zieht man in der Ebene Π₁ irgendwelche Gerade und zeichnet durch O die Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in einer Ebene, eben in der Parallelebene durch O zu Π₁.« Ist also G irgendeine Gerade der Grundebene ([Fig. 17]) und ziehen wir zu ihr durch O die Parallele, so liegt diese in der Horizontebene, der Schnittpunkt f der Parallelen mit der Tafel muß demnach auf hh gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden G; mit anderen Worten:

Satz 12. Alle in der Grundebene gelegenen Geraden haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizonte.

A ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie gg senkrechten Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen wir ferner in der Grundebene ein Quadrat abcd ([Fig. 18]), das mit einer Seite ab in der Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien ac und bd, die sog. Diagonalen des Quadrates, mit der Grundlinie Winkel von 45° ein. Man vgl. auch [Fig. 19], in welcher unten das Quadrat (a)(b)(c)(d) in seiner wahren Gestalt zu sehen ist. Es ist aber klar, daß die Linie OD₁ parallel zu bd und OD₂ parallel zu ac; D₁ und D₂ sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der Grundebene d. h.

Satz 13. »Alle Linien der Grundebene, welche mit der Grundlinie den Winkel von 45° nach der einen oder anderen Seite einschließen, haben die Distanzpunkte bzw. zu Fluchtpunkten.«

Fig. 18.

Endlich wollen wir noch eine andere Eigenschaft des Horizontes kennen lernen. Ist d ein Punkt in der Grundebene, d' sein Bild, also der Schnittpunkt des Sehstrahles Od mit Π ([Fig. 18]), so wollen wir uns vorstellen, daß der Punkt d weiter und weiter nach links in der Grundebene hinausrückt. Dann wird das Bild d' offenbar immer höher in der Bildtafel hinaufrücken, da sich der Strahl Od mehr und mehr aufrichtet. Ist d sehr weit entfernt in der Grundebene angenommen, so wird das Bild d' dem Horizont hh schon sehr nahe liegen. Wir gewinnen daraus folgende Deutung für den Horizont:

Satz 14. »Punkte, die sehr weit entfernt in der Grundebene liegen, haben Bilder, die nahezu in den Horizont fallen.«

Ein schönes Beispiel dafür liefert die Darstellung des offenen Meeres. Denn seine Oberfläche müssen wir uns als eine weit ausgedehnte Ebene denken. Ist also in einem Gemälde das freie Meer überhaupt oder eine weit ausgedehnte Wasserfläche dargestellt, so gibt die Grenzlinie gegen den Himmel praktisch hinreichend genau den Horizont des Bildes (vgl. [Fig. 50]). Unsere Überlegung gibt auch die Erklärung dafür, warum sich die Meeresfläche scheinbar so hoch erhebt, daß sie wie eine Mauer sich aufzutürmen scheint. In der Tat muß das Bild jeder sehr weit ausgedehnten horizontalen Ebene bis fast in Augenhöhe reichen.

§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab.

14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene. Unter Benutzung der so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper darstellen. Wir beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von Figuren, die in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist dann aber notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl ihrer wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie hereinbringen. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende: wir drehen die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der beiden Pfeile (Fig. [17], [18]) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt. Dann liegt die Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir haben die Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort befinden, wo das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die (gedrehte) Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein beliebiges Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (g)(g) annimmt ([Fig. 19]); irgendein Punkt a der Grundlinie beschreibt dabei die lotrechte Linie a(a), wenn wir mit (a) die Lage des Punktes a nach Ausführung der Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung a(a) zwischen gg und (g)(g) ist ganz willkürlich und richtet sich nach der Größe der in der Grundebene gegebenen Figur.

Fig. 19.

Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende

Aufgabe 2. In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem eine Seite ab in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates zu zeichnen.

Die Lage des gegebenen Quadrates abcd veranschaulicht [Fig. 18]. In der wirklichen Ausführung ([Fig. 19]) geben wir uns den Horizont hh mit dem Augenpunkt A und den beiden Distanzpunkten, D₁ und D₂, dazu parallel die Grundlinie gg mit den beiden Ecken a und b des Quadrates.

Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (g)(g) und bestimmen vermittels der Vertikalen durch a und b die Lage (a)(b)(c)(d) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind die Quadratseiten ad und bd Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also nach [Satz 11] durch A gehen; die Punkte a und b sind aber die Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in aA und bA die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten ad und bc liegen, und die Bilder d' und c' müssen bzw. auf aA und bA gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale db konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (d)(b) zu zeichnen ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der Grundlinie bildet. Nach [Satz 13] ist also D₁ der Fluchtpunkt dieser Geraden, b aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden db die Verbindungslinie bD₁. Das Bild d' muß demnach sowohl auf aA als auch auf bD₁ liegen, kann also nur der Schnittpunkt d' dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild c' der Ecke c als Schnittpunkt von aD₂ und bA. Das folgt sofort aus der Betrachtung der anderen Diagonale ac. Eine Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daraus, daß c'd' von selbst parallel gg sein muß. Denn die Quadratseite cd ist ja parallel zur Tafel, also nach [Satz 10] cd ∥ c'd'.[3] Da aber cd ∥ ab, so ist auch c'd' ∥ ab. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion des Bildes abc'd' gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung (a)(b)(c)(d) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die Bemerkung auf [S. 14] unten erinnert.

[3] ∥ ist das Zeichen für parallel.

Aufgabe 3. Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch getäfelten Fußboden zu zeichnen.

Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in [Fig. 19] in der Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (a)(b)(c)(d) schließt sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion [Fig. 19] ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (e)(f), fliehen im Bilde alle nach A. Ferner erkennt man leicht, daß in dem System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser parallelen Geraden bzw. nach D₁ und D₂ laufen. In der [Fig. 19] sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der Quadratbilder nach D₁ oder D₂ gehen, und außerdem je zwei Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die Figur zahllose Kontrollen.

15. Anwendungen dieser Aufgabe. Man würde aber irren, wollte man diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel geben wir in [Abbildung 3] das Abendmahl des Altniederländers Dirk Bouts (1410(?)–1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen entsprechenden Platz im Raume haben.

Abb. 3.

Unter Umständen kann es auch bequem sein, ein solches Quadratnetz in die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig gestalteter Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage, in Perspektive gesetzt werden soll ([Fig. 20]). Wir legen über die Figur ein derartiges Netz und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies geschehen, übertragen wir nach dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die Linien in das Bild. Es wird die Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne charakteristische Punkte genau zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu benutzen ist.

Fig. 20.

Aufgabe 4. Ein Punkt p in der Grundebene ist gegeben; sein Bild zu zeichnen.

Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die [Aufgabe 1] zurück, indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in p liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in Fig. [18] und [19] etwa die Ecke d als den gegebenen Punkt denken. Wir wollen jetzt die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu zeichnen.

Der Punkt p ist in [Fig. 21 a] in der Verschiebung (p) gegeben, Wir zeichnen durch (p) die lotrechte Tiefenlinie (T), welche die durch p gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist t, ihr Fluchtpunkt A, so daß also ihr Bild T' diese beiden Punkte verbindet; auf T' muß jedenfalls das gesuchte Bild p' gelegen sein.

Fig. 21 a.

Um einen zweiten Ort für p' zu erhalten, ziehen wir durch (p) eine Linie (D) nach rechts, welche unter 45° gegen die Grundlinie (g)(g) geneigt ist (Quadratdiagonale). Diese Linie (D) schneidet (g)(g) in (s), und senkrecht über diesem Punkt erhalten wir in s die Spur der Hilfslinie D. Da ferner D₁ ihr Fluchtpunkt ist, so wird D' den Punkt s mit D₁ verbinden. Das gesuchte Bild p' muß also auch auf D' liegen, kann folglich nur der Schnittpunkt von T' und D' sein.

Fig. 21 b.

Wir hätten durch (p) noch eine zweite Linie nach links ziehen können, welche auch einen Winkel von 45° mit (g)(g) einschließt. Dann hätten wir einfach den auf der rechten Seite von A gelegenen Distanzpunkt D₂ als Fluchtpunkt für diese Linie benutzen müssen und wären zu dem gleichen Punkte p' gelangt. Die Konstruktion ist ebenfalls in [Figur 21 a] eingetragen.

Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung anbringen. Da

(p)(t) = (s)(t) = st,

so ergibt sich folgende einfache Konstruktion ([Fig. 21 b]): Man trägt von der Spur t aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach rechts als ts auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt s mit dem linken Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf der Hauptlinie T' den gesuchten Punkt p' aus.

Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann auch in folgender Weise formulieren:

Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine Zahl gegebenen Abstand hat.

Aufgabe 5. Auf einer gegebenen Tiefenlinie einen Maßstab zu zeichnen, dessen Einheit gegeben ist.

Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der Spur der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je weiter sie sich vom Auge entfernen. Die in [Fig. 21 b] durchgeführte Konstruktion gibt sofort die Lösung. Wir tragen ([Fig. 22]) die geg. Teilung von der Spur t der geg. Tiefenlinie T aus nach rechts auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1 = 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann mit dem linken Distanzpunkt D₁, so schneiden diese Linien auf T' die gesuchten Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines sog. Tiefenmaßstabes gewonnen.

Fig. 22.

Das Verfahren bleibt ganz das nämliche, wenn nicht lauter gleiche Strecken auf der Tiefenlinie angetragen werden sollen, sondern verschiedene Strecken. Man trägt die Strecken in ihrer Reihenfolge auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus D₁ projiziert, die richtigen Bilder.

§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene.

16. Bild einer beliebigen Geraden. Um nun eine irgendwie aus Geraden zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen Geraden zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur

Aufgabe 6. Eine beliebige Gerade A der Grundebene ist gegeben; ihr Bild zu zeichnen.

Fig. 23.

Die Flucht der Geraden ergibt sich nach [Satz 7], indem wir durch das Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel zum Schnitt bringen. Ist f_a dieser Schnittpunkt, so ist ([Fig. 23]) Of_a ∥ A und f_a liegt natürlich auf dem Horizont hh. Wir ziehen noch durch das Auge O eine Parallele ii zum Horizont. Die Gerade A wird mit der Grundlinie gg einen gewissen Winkel α einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der Parallelstrahl Of_a mit der Linie ii den gleichen Winkel α bildet. Um diese Eigenschaft für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die Horizontebene durch O nach unten in die Bildebene Π. Wir drehen also diese Ebene um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der Bildtafel zusammenfällt. Der Pfeil in der [Figur 23] deutet diese Drehung an. Die Linie OA bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont; sie hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft. Zeichnen wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch A, so gibt diese die Lage, welche der Strahl OA nach Ausführung der Drehung annimmt. Der Punkt O endlich geht nach Beendigung der Drehung in einen Punkt D₃ über, der auf dieser lotrechten Linie durch A so liegt, daß die Strecke AD₃ = OA = der Distanz. Die Parallele ii geht über in die Linie ll, welche durch D₃ parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie D₃f_a bildet mit der Linie ll wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen wir an [Fig. 24], welche die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade A ist in der Verschiebung durch (A) gegeben. Im Augpunkte A errichten wir die Senkrechte zum Horizont und schneiden auf ihr die Distanz ab, wodurch wir D₃ erhalten. Es ist also

AD₁ = AD₂ = AD₃.

Durch D₃ ziehen wir die Parallele ll zum Horizont. Tragen wir an diese Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den Fluchtpunkt f_a auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die Eigenschaft der Figur zu benutzen, daß offenbar

D₃f_a ∥ (A)

ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch D₃ eine Parallele zu (A) zu zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt f_a von A aus. Die Verbindungslinie der Spur a mit f_a gibt das Bild A' der Geraden A.

Fig. 24.

Nennen wir D₃ die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten »umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel:

Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das umgelegte Auge D₃ zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den Fluchtpunkt der Geraden.

Fig. 25.

Die [Figur 24] liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den Fall, daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere Weise bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende

Aufgabe 7. Ein Punkt p der Grundebene ist durch sein Bild p' gegeben; durch p soll in der Grundebene eine Gerade gezogen werden, welche unter einem Winkel von 60° gegen die Grundlinie geneigt ist. Das Bild dieser Geraden zu zeichnen.