Отдельный, парящий в воздухе пузырь представляет собой шар, и мы уже знаем, почему пузырь принимает именно эту форму. Причина заключается в том, что из всех существующих форм один только шар обладает наименьшей поверхностью при данном объеме. Другими словами, упругая мыльная пленка, стремясь сжать находящийся в ней воздух, принимает сферическую форму. Если бы пузырь имел другую форму, то при превращении в шар поверхность пленки должна была бы еще уменьшиться. Но если мы выдуем два пузыря в действительном соприкосновении друг с другом, то оба они должны принять такую форму, чтобы поверхность обоих шаровых отрезков и часть, общая обоим пузырям, которую я буду называть перегородкой, были наивозможно меньшей поверхностью, способной заключать в отдельности два данных количества воздуха. Таким образом, мыльный пузырь дает нам простой, удобный и вместе с тем наглядный путь для решения вопроса, который действительно является математической задачей. Предположим, что два пузыря, соединенные перегородкой, не равны друг другу и что рис. 67 представляет разрез через центры обоих пузырей.
Рис. 67.
На этом рисунке буквой А обозначен малый, буквой В — большой пузырь. Мы знаем, что давление внутри пузыря пропорционально его кривизне или дроби, у которой числитель — единица, а знаменатель — величина радиуса пузыря. Давление в А, под которым я понимаю избыток над атмосферным давлением, будет поэтому больше, чем в В, в том же отношении, в каком радиус В больше радиуса А. Воздух в А сдерживается от вдувания в В кривизной перегородки. Действительно, эта кривизна уравновешивает разницу давлений. Тот же самый факт может быть выражен и иными словами. Кривая и растянутая пленка dac гонит воздух пузыря А влево, и это заставляет две менее кривые, но одинаково растянутые пленки dbc и dec давить вправо для уравновешивания действия более кривой пленки dac. Ту же мысль можно выразить совсем кратко: кривизна dac равна сумме кривизны dbc и dec. Рассмотрим теперь на чертеже точки с или d, каждая из которых представляет сечение с плоскостью чертежа окружности, по которой соприкасаются два пузыря; в любой точке этой окружности встречаются три пленки, и все они стягиваются с той же самой силой. Они могут уравновешивать друг друга только в том случае, когда углы, под которыми они встречаются, равны или когда каждый угол равен 120°. Вследствие кривизны линий эти углы кажутся неравными, но я провел в точке с пунктиром касательные к двум кривым, и ясно, что они образуют друг с другом равные углы.
Условие относительно равенства углов не является независимым от условия, относящегося к кривизнам пленок; если одно из условий будет выполнено, то другое должно вытекать как следствие; это замечание справедливо и по отношению к условию, приведенному в начале этой главы, что общая поверхность пузырей должна быть наивозможно меньшей. Плато рассмотрел этот вопрос, как и все, касающееся мыльных пузырей, в своей напечатанной в Брюсселе книге «Statique des liquides» («Статика жидкостей»), которая является достойным — памятником блестящему исследователю. Он описывает в ней простое геометрическое построение, позволяющее точно вычертить оба пузыря и разделяющую их перегородку.
Из какой-либо точки С проведем три линии: Cf, Cg, Ch, образующие два угла по 60°, как показано на рис. 68.
Рис. 68.
Теперь пересечем их четвертой прямой линией, проведенной на рисунке пунктиром. Получившиеся три точки пересечения являются центрами трех окружностей, соответствующих трем возможным — пузырям. Точка пересечения средней линии является центром окружности малого пузыря, из других же двух точек та, которая ближе к С, представляет собой центр второго пузыря, а та, которая находится дальше от С, — центр перегородки. Теперь, устанавливая одну из ножек циркуля последовательно в каждой из этих точек, проводим отрезки окружностей, проходящих через С, как показано на рис. 69, на котором линии рисунка 68 воспроизведены пунктиром, дуги же окружностей — сплошными линиями.
Рис. 69.
Начертив некоторое количество таких пузырей на листе бумаги достаточно жирными линиями, чтобы лучше видеть их, наложите на них кусок стекла. Смочив стекло мыльной водой, выдуйте на нем половину пузыря, а затем половину другого пузыря в соединении с — первой. Теперь приготовим маленькую трубочку, лучше соломинку, с одним концом, залепленным сургучом, который потом прокалывается горячей булавкой, чтобы медленно выпускать воздух. С помощью этой соломинки будем осторожно вдувать в пузыри воздух или вытягивали его из них до тех пор, пока пузыри не достигнут тех же размеров, что и на чертеже, причем будем двигать стекло так, чтобы пузыри оказались как раз над соответствующим им местом чертежа. Вы увидите тогда, как пузыри автоматически разрешают нашу задачу, причем края пузырей в точности на всем своем протяжении — соответствуют сделанному вами чертежу.
Если пунктирная линия на рис. 68 пересекает Сf и Ch на равных расстояниях от С, тогда она будет пересекать Cg на половине этого расстояния от С, и мы будем иметь случай соприкосновения пузыря с пузырем двойного диаметра. В этом случае перегородка будет иметь ту же самую кривизну, что и большой пузырь, но обращенную в другую сторону, и по величине та и другая кривизны будут равны половине кривизны малого пузыря.
Если пунктирная линия рис. 68 будет пересекать Сf и Cg на равных расстояниях от С, тогда она будет параллельна Ch и никогда не пересечет ее. Оба пузыря будут тогда равны, и перегородка не будет иметь кривизны, или, другими словами, она будет совершенно плоской, и линия cd рис. 67, представляющая ее сечение с плоскостью чертежа, будет прямой линией.
Существуют и другие случаи, когда приложимы те же законы взаимной зависимости, как и закон о радиусах, находящихся в соприкосновении мыльных пузырей. В краткой форме его можно написать следующим образом:
1/ А = 1/ В + 1/ Е;
при этом мы пользуемся буквами рис. 69 для обозначения длины радиусов соответствующих кругов. Возьмем для примера двояковыпуклое стекло или вогнутое зеркало; они обладают так называемым в оптике фокусом, расположенным на некотором расстоянии, которое обозначим буквой А; в фокусе собираются солнечные лучи, превращая наш прибор в зажигательное стекло. Если мы поместим несколько дальше фокуса пламя свечи на расстоянии В (большем, чем А ), тогда линза или зеркало дадут изображение пламени на расстоянии Е, так что:
1/ А =1/ В + 1 / Е.
Возьмем еще пример. Если электрическое сопротивление проволоки данной длины, скажем в А сантиметров, равно определенной величине, тогда сопротивление двух кусков такой же проволоки в и сантиметров длиной, соединенных так, чтобы ток разделялся между ними, будет такое же, что у А, если:
1/ А = 1/ В + 1/ Е.
Таким образом, мыльными пузырями можно воспользоваться для численного решения оптической и электрической задач.
Плато дает другое геометрическое построение, исследование которого гораздо более длинно и трудно, но которое так изящно, что я не могу воздержаться, чтобы не привести его здесь в заключение этой главы.
Когда три пузыря находятся в соприкосновении друг с другом, как показано на рис. 70, тогда, конечно, три перегородки будут встречаться одна с другой, а также и с пузырями под углами в 120°.
Рис. 70.
Центры кривизны как трех пузырей, так и трех перегородок также лежат на одной плоскости. Но тут есть и другое обстоятельство, не столь очевидное, однако, истинное: центры кривизны трех перегородок, отмеченные на рисунке тремя двойными кружками, лежат на одной прямой линии. Для тех из вас, кто сведущ в геометрии, эвклидовой или аналитической, доказать это представляет такую же интересную задачу, как и задачу о трех пузырях и трех перегородках, заключающих и разделяющих три объема воздуха, причем общая поверхность их оказывается наименьшей из всех возможных. Доказательство положения, что три пленки, вычерченные согласно построению рис. 68, обладают установленными кривизнами, значительно легче, и я рекомендую начинать именно с него. Если вам нужна руководящая нить, то проведите из точки, где пунктирная линия пересекает Cg, линию, параллельную Сf, и разберите, чтó теперь перед вами.