ILLVSTRISSIMO VIRO D. D. IOANNI BAPTISTAE COLBERTO, REGI AB INTIMIS CONSILIIS ET A SECRETIS, Ærarij Censori generali, SVMMO REGIORVM ÆDIFICIORVM, NAVIGATIONIS ET COMMERCII PRÆFECTO, Regni Administro, Etc.
Prodit in lucem tuis auspicijs, Vir Illustrissime, Diophantus varijs auctus parentis mei obseruationibus; Illas mole quidem exiguas, secl pondere, ni fallor, maiores, quæ tua est summa humanitas, forsitan non aspernaberis, præsertim cum ad numeros pertineant qui radicis instar ac velut in centro Matheseos positi, diffunduntur in omnes illius circuli partes. Cur enimn Geometria, et quidquidei affine est, alium quam te ambiat Patronum, qui terrarum orbem animo metiris, vt in extremis Regionibus in quibus olim emoriens natura defecisse videbatur, præclara Regis maximi facta celebrentur, et Barbarorum pectora liberalibus imbuta disciplinis mitescant. Cum vero illas ferè omnes aut earum semina Mathesis contineat, menti inperio natæ et membris famulitio aptis opitulatur, pacisque ac belli temporibus idonea, non tantum Regijs dibus magnificè extruendis, sed etiam vrbibus tutò propugnandis vtilem se præbet. Huius doctrinæ non immeritò captus illecebris Parens meus, quem adhuc lugeo, illam succisiuis horis in medio forensium negotiorum strepitu, absque vllo tamen Iurisprudentiæ, et Senatorij muneris dispendio non infeliciter excoluit. An autem hæ, quas tibi, Vir Illustrissime, offero lucubrationes, pondere, vt dixi, majores sint quam mole, si satis otij suppeteret, tu facillimè indicares, qui Lynceâ sagacitate in abdita quæque penetrans, veritatem ab errore non mnius quam veram virtutem à fucatâ secernis, et eorum qui operam nauant ærario puras manus æquè dignoscis, ac puritatem auri se probare posse Matheseos quondam ille genius Archimedes celeberrimo circa coronam Hieronis experimento demonstrauit. Sed te aliò vocant multa magnaque, in quibus ita versaris, vt te pluribus parem, et adhuc majoribus dignum ostendens, inuicti Principis famam, illiusque subditorum leuamen, tibi laborum metam proponas. Id abunde testantur commnercij reparatæ, et Piratarum repressæ vires qui Herculem Gallicunm Herculeas coluimnas transeuntem et vtrumque mare committentem vident è latebris tanquam è Caci speluncâ et pertirnescunt; idem quoque testantur portus bellicis instructi nauibus quæ peregrinis non indigent armamentis, et hostibus terrorem incutiunt vt pateat qui mari potitur, eum rerum potiri; testantur denique hinc restauratæ tuis curis Artes, nobilique consortio, vt egregiorum æmulatione opificum certatim augeri ac perfici possint, tuâ industriâ sociatæ, illinc scientiarum arcana in tuis ipsis penatibus mirum in modum illustrata. Quæ satis fiden faciunt quantum tibi cordi sit non solum vt Regni, sed etiam vt Reipublicæ litterariæ fines promoueantur et vt quidquid ex nouo illius orbe aduehitur, aspirante tui fauoris aurâ obliuionis et inuidiæ scopulos vitare possit; nunquam illos metuet hoc tui nominis præsidio munitum opus, si benignâ manu, vt enixè rogo, suscipias istud æterni n monimentum obsequij, quod tibi voveo,
Addictissimus S. FERMAT
Lectori Beneuolo.
DIOPHANTVM hîc habes, et varias quibus auctus est obseruationes, paucas illas quidem et breues, non tamen contemnendas; nec enim me latet hujusmodi opera ponderari potius quam numerari à peritis æstimatoribus, quibus vnica demonstratio, imò interdum vnicum Problema magni voluminis instar est; in Mathematicis nimirum disciplinis, noua Laconico licet more exhibita veritas pluris fieri solet, quam verbosa quorumdam tautologia; Doctis tantum quibus pauca sufficiunt, harum obseruationum auctor scribebat, vel potius ipse sibi scribens, his studijs exerceri malebat quam gloriari; adeo autem ille ab omni ostentatione alienus erat, vt nec lucubrationes suas typis mandari curauerit, et suorum quandoque responsorum autographa nullo seruato exemplari petentibus vltrò miserit; norunt seilicet plerique celeberrimorum huius sæculi Geometrarum, quaim libenter ille et quantâ humanitate, sua ijs inventa patefecerit; Quamobrem superstites quosdam Ipsius amicos, sæpe hortatus sum sæpiusque hortabor, vt si quos illius ingenij partus blandâ manu susceperint, illos in musæi vmbnrâ diutius delitescere non patiantur; dum autem plura quæ breui, vt spero, prodibunt, colligo, tibi non iniucundam fore duxi, nouam horum Diophanti operum, istarumque simul obseruationum editione: Illas Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsertim ad quatuor vltimos libros; cum enim ardua sectaretur ille, faciliora et vulgo Logistarum nota quæ duobus primis libris continentur, aut vt ipsius Diophanti verbis vtar, τὰ ἐν ἀρχῇ στοιχειωδῶς ἔχοντα ferè omnino prætermisit; Qualis autem Quantusque in Arithmeticis fuerit Diophantus, sat sciunt qui primis, vt dicitur, labris puram Logisticam gustauerunt; tredecim ille scripserat Arithmeticorum libros, quorum sex tantum extant, vnusque de numeris multangulis, reliqui vel temporis iniuriâ perierunt, aut alicubi forsan Thesauri instar ita seruantur, vt nullius videantur esse, dum publici juris fieri non possunt; meminit Diophanti Suidas in voce Hypathia, et Lucillius libro secundo Anthologæ capite vigesimo secundo Diophanti Astrologi recordatur; an vero Suidas et Lucillius de hoc eodemque loquantur, nihil comperti habemus; eum multi circa Neronis tempora vixisse putant, nec deest qui Antonino pio imperante eum floruisse leuibus fretus coniecturis suspicetur; illud audacter asserere licet, hoc Auctore nullum antiquiorem hactenus innotuisse, qui hanc instaurauerit doctrinam, quam à Græcis acceptam Arabes cum ipso Algebræ nomine ad nos transmisisse existimantur; eximia vero Problemata quæ hoc opus complectitur, adeo humanæ mentis captum videntur superare, vt ad eorum explanationem indefesso Xylandri labore et mirandâ Bacheti sagacitate opus fuerit; duo illi fuere doctissimi horum librorum interpretes, nam vix eo nomine dignus est Græcus Scholiastes; Bombellius verò in Algebra quam Italico sermone vulgauit, Diophanti quæstionibus suas permiscens, fidi interpretis partes non sustinuit; neque eo functus est munere subtilissimus Vieta qui peragrans auia Logisticæ loca, nec alterius inhærens vestigiis, sua maluit in lucem proferre inuenta quam facem præferre Diophantæis; quantum autem Analyticam vltra veteres terminos promouerit Parens meus, tuum erit, Erudite Lector, judicium; vtinam ipsius cœptis non obstitissent angustiæ temporis, et plura parantem mors heu nimium immatura nobis ilium non præripuisset! plura procul dubio ex eodem fonte manassent, nec suis quædam istorum problematum demonstrationibus carerent; quin vero ipse eas penes se, et in scrinio, vt ita loquar, pectoris habuerit, turn aliæ lucubrationes, tum illius animi candor et modestia dubitare non sinunt; licet autem à tot tantisque viris laudatus Parens, à liberis absque inuidia laudari possit, nec illud ingenti luctui solatium, vel potius irritamentumn denegari debeat, magis tamen libenter, ni fallor, illius encomium perleges quod in diario Doctorum elegantissimo, et in plerisque clarissimorum scriptorum libris occurrit; horum nonnulli magnificè jamdudum mentionem fecere variorum ipsius operum, quæ licet inedita non tamen latuerunt, vt abundè testantur quædam excerpta quæ adjicere non piget, et doctrine Analyticæ inuentum nouum, collectum ex varijs illius epistolis à R. P. Iacobo de Billy Societatis Iesu Sacerdote, cuius perspicacissimum ingenium et eruditio commendatione non egent, cum in ipsius operibus satis eluceant; cæterum quidquid in hoc erratum fuerit, id Typographorum incuriæ tribuas, et æqui bonique consulas quæso. VALE.
OBSERVATIONES DOMINI PETRI DE FERMAT
OBSERVATIO D. P. F
I (p. 54)
Ad definitionem VI Claudij Gasparis Bacheti Porismatum Libri III. (p. 21)
A duobus quibuscumque numeris formari dicitur triangulum rectangulum, quum ex aggregato et ex intervallo quadratorum ab ipsis et ex duplo plani sub ipsis numeris contenti constant latera trianguli.
A tribus numeris in proportione Arithmeticâ possumus formare triangulum, si secundum hanc definitionem sextam formemus illud à medio et differentiâ. Nam solidum sub tribus ductum in differentiam faciet aream dicti trianguli, atque ideo, si differentia sit unitas, solidum sub tribus erit area trianguli.
Перевод:
Nous pouvons former un triangle avec trois nombres en progression arithmétique, en le composant, selon cette définition 6, avec le terme moyen et la différence de deux termes; car le produit des trois termes et de la différence sera égal à l’aire dudit triangle, et, par suite, si la différence est l’unité, l’aire du triangle sera représentée par le produit des trois termes.
OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT
II (p. 61)
Ad quæstionem VIII Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libri II. (p. 85)
Propositum quadratur dividere in duos quadratos.
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Перевод:
Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы.
OBSERVATIO D. P. F
III (p. 65)
Ad quæstionem X Libri II.
Datum numerum, qui ex duobus componitur quadratis, in alios
Num verò numerum ex duobus cubis compositum dividere poterimus in alios duos cubos? Hæc quæstio difficilis sane nec Bacheto aut Vietæ cognita fortasse nec ipsi Diophanto; eius tamen solutionem dedimus infra in notatis[1] ad quæstionem secundam lib. 4.
Перевод:
Может ли также и число, являющееся суммой двух кубов, быть разделено на два других куба? Это трудный вопрос, решение которого, конечно, было неизвестно Баше и Виету, а может быть, и самому Диофанту; я решил его дальше, в моих замечаниях к задаче IV 2.
OBSERVATIO D. P. F
IV (p. 107)
Ad quæstionem X Libri III.
Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero faciat quadratum, sed et summa trium dato numero adjecto faciat quadratum.
Quomodo inveniendi sint 4 numeri ut compositus ex binis quibuslibet adsumpto dato numero conficiat quadratum invenimus ad propositionem 3. libri 5.
Перевод:
Я указал в моем примечании к задаче V 30[в нашем издании V 27 — И. Б. ], как найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух из них, увеличенная на заданное число, давала бы квадрат.
OBSERVATIO D. P. F
V (p. 108)
Ad quæstionem XI Libri III.
Dato aliquo numero, invenire tres alios, ut compositus ex duobus quibuslibet dempto dato numero faciat quadratum, sed et trium summa detracto dato numero faciat quadratum.
Quæ notavimus ad tertiam libri 5. docebunt quomodo invneniendi sint 4. numeri, quorum bini quilibet sumpti dempto dato numero conficiant quadratum.
Перевод:
Мое примечание к V 31[у нас V 28 — И. Б. ] показывает, как можно найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух из них, уменьшенная на заданное число, была бы квадратом.
OBSERVATIO D. P. F
VI (p. 118)
Ad quæstionem XVII Libri III.
Invenire tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione, adsumpta eorumdem summa, quadratum faciat.
Exstat huius quæstionis Diophanti problema[2] in libro quinto quæstione quinto, Num vero problema sequens ipse Diophantus sciens prætermisit, an potius in aliquo tredecim librorum constructum erat, nescimus.
Invenire 3. quadratos ut productus ex binorum multiplicatione adsumptâ eorumdem summa quadratum faciat. Huius tamen quæstionis infinitas solutiones dare possumus.
En, verbi gratia sequentem solutionem; satisfaciunt nempe problemati tres quadrati sequentes.
3504384 / 203401 1. quadratus.
2019241 / 203401 2. quadratus.
4 3. quadratus.
Imo et ulterius progredi et Diophantæam quæstionem promovere nihil vetat. Sequens enim problema generaliter et infinitis modis construximus.
Invenire 4 numeros sub quibus binis quod fit planum adscitâ amborum summâ, faciat quadratum.
Inveniantur, per 5. propositionem libr. 5. tres quadrati ut quem bini faciunt planum adsciscens amborum summam faciat quadratum et sunto illi numeri quadrati;
25 / 9 64 / 9 196 / 9
Sunt ergo tres isti quadrati, tres primi numeri nostræ quæstionis, ponatur quartus 1N. fient tria producta una cum summis æqualia.
34 / 9 N + 25 / 9 primum.
73 / 9 N + 64 / 9 secundum.
205 / 9 N + 196 / 9 tertium.
Hæc igitur tria æquanda quadrato, et oritur triplicata æqualitas, cuius explicationem dedimus ad quæstionem 24. libri sexti.
Перевод:
У Диофанта имеется другая задача, V 5, посвященная тому же вопросу. Но неизвестно, опустил ли он, хотя и знал ее, следующую задачу или, что более вероятно, дал ее решение в одной из своих тринадцати книг.
Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, было бы квадратом.
Мы можем дать бесконечно много решений этого вопроса. Вот, например, одно из них: три квадрата удовлетворяют предложенному условию
3504384 / 203401, 2019241 / 203401, 4
Но можно пойти дальше и распространить вопрос Диофанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и можем дать бесконечное число ее решений:
Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же чисел, давало квадрат.
Сначала найдем, согласно V 5, такие три квадрата, что произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три квадрата, найденные Диофантом:
25 / 9, 64 / 9, 196 / 9.
Возьмем эти три квадрата в качестве трех первых чисел нашей задачи; пусть x будет четвертым; образуя его произведения с каждым из предыдущих и прибавляя сумму обоих множителей, получим
34 / 9 x + 25 / 9 = □, 73 / 9 x + 64 / 9 = □, 205 / 9 x + 196 / 9 = □.
Возникает тройное равенство, которое мы разобрали в примечании к задаче VI 24[в нашем издании V 22 — И. Б. ].
OBSERVATIO D. P. F. AD COMMENTARIUM
præcipuè ad locum illum, Adverte tertio etc.
VII (p. 127–128)
Ad commentarium (in quæstionem XXII Libri III), præcipuè ad locum illum: Adverte tertio etc.[3]
Numerus primus qui superat unitate quaternarij multiplicem semel tantùm est hypotenusa trianguli rectanguli, eius quadratus bis, cubus 3. quadratoquadratus 4 etc. in infinitum.
Idem numerus primus et ipsius quadratus componuntur semel ex duobus quadratis: eius cubus et quadratoquadratus, bis: quadratocubus et cubocubus ter etc. in infinitum.
Si numerus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in alium primum etiam ex duobus compositum quadratis, productum componetur bis ex duobus quadratis: si ducatur in quadratum eiusdem primi: productum componetur ter ex duobus quadratis: si ducatur in cubum eiusdem primi productum componetur quater ex duobus quadratis, et sic in infinitum.
Hinc facile est determinare quoties numerus datus sit hypotenusa trianguli rectanguli, sumantur omnes primi, quaternarij multiplicem unitate superantes qui datum numerum metiuntur v. g. [verbi gratia] 5. 13. 17. Quod si potestates dictorum primorum metiantur datum numerum, Disponantur una cum reliquis loco laterum v. g. [verbi gratia] metiantur datum numerum 5. per cubum, 13. per quadratum et 17. per latus simpliciter.
Sumantur exponentes omnium divisorum Nempe numeri 5. exponens est 3. propter cubum, numeri 13. exponens est 2. propter quadratum et numeri 17. unitas tantum: ordinentur igitur ut volueris dicti omnes exponentes ut si velis. 3. 2. 1. ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam primi et secundi fit 17. ducatur iam 17. in tertium bis et producto adijciendo summam 17 et tertij, fit 52. datus igitur numerus erit hypotenusa 52. triangulorum rectangulorum, nec est dissimilis in quotcumque divisoribus et ipsorum potestatibus methodus.
Reliqui numeri primi qui quaternarij multiplicem unitate non superant nihil aut addunt quæstioni aut detrahunt neque ipsorum potestates.
Invenire numerum qui quoties quis velit sit hypotenusa: quæratur numerus qui sit septies hypotenusa, numerus 7. datus dupletur fit 14. adijce unitatem fit 15. sume omnes primos qui mensurant 15. sunt hi 3. et 5. Ab unoquoque demptâ unitate sume reliqui dimidium, fiunt 1. 2. quærantur tot primi diversi quot hic sunt numeri nempe duo et secundum exponentes 1 et 2 inter se multiplicentur nempe unus in quadratum alterius, in hoc casu satisfiet quæstioni modò primi quos sumis superent quaternarium[4] unitate, ex his constat facilè posse inveniri numerum minimum qui quoties quis velit sit hypotenusa.
Invenire numerum qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis: sit datus numerus 10. eius duplumn 20. cuius omnes partes primæ sumantur. 2. 2. 5. ab unaquaque tolle unitatem fiunt 1. 1. 4. sumantur igitur 3. numeri primi, (qui nempe unitate superent quaternarium,[5] ) v. g. [verbi gratia] 5. 13. 17. et quadratoquadratus unius propter exponentem 4. ducatur in reliquos duos. Fiet numerus quæsitus.[6] Ut autem dignoscatur quoties datus numerus ex duobus quadratis componitur. Sit datus numerus 325. numeri primi qui cum componunt (nempe quaternarium[7] unitate superantes) sunt. 5. 13. hic semel, ille per quadratum. Exponentes disponantur 2. 1. productus multiplicatione jingatur summæ, fit 5. cui adiunctâ unitate fit 6. cuius dimidium 3. toties igitur numerus datus componitur ex duobus quadratis, si essent 3. exponentes ut 2. 2. 1. Ita procedendum, productum sub prioribus adiunctum summæ facit 8. ducatur 8. in tertium et iungatur productum summæ fit 17. cui iunge unitatem fit 18. cuius dimidium dat 9. toties iste secundus numerus componetur ex duobus quadratis. Si ultimus numerus bifariam dividendus esset impar, tunc dempta unitate reliqui dimidium sumi debet.
Sed proponatur si placet sequens quæstio. Invenire numerum in integris qui adsumpto dato numero conficiat quadratum, et sit hypotenusa quotlibet triangulorum rectangulorum. Hæc quæstio ardua est, proponatur v. g. [verbi gratia] inveniendus numerus qui sit bis hypotenusa, et adsumpto binario conficiat quadratum. Erit quæsitus numerus 2023. et sunt alij infiniti idem præstantes, ut 3362. etc.
Перевод:
Простое число, которое превосходит на единицу кратное четырех, только один раз является гипотенузой прямоугольного треугольника, его квадрат — два раза, его куб — три раза, его биквадрат — четыре и т. д. до бесконечности.
Это же простое число и его квадрат только одним способом представляются суммой двух квадратов; его куб и его биквадрат — двумя, его квадрато-куб и кубо-куб — четырьмя и т. д. до бесконечности.[8]
Если простое число, представимое суммой двух квадратов, умножается на другое простое, также представимое суммой двух квадратов, то их произведение дважды представимо суммой двух квадратов; если множителем будет квадрат второго простого числа, то произведение будет трижды представимо суммой двух квадратов; если множителем будет куб второго простого числа, то произведение будет представимо суммой двух квадратов четырьмя способами и т. д. до бесконечности.
Из этого легко определить, сколькими способами заданное число представляется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Надо взять все простые числа, превосходящие на единицу кратное четырех, содержащиеся в данном числе, например 5, 13, 17. Если данное число содержит степени этих простых множителей, то надо взять эти степени вместо простых множителей: пусть, например, данное число содержит
5 в кубе, 13 в квадрате и 17 как простую сторону.
Тогда надо взять показатели всех множителей, а именно для числа 5 показатель 3, присущий кубу, для числа 13 показатель 2, присущий квадрату, а для числа 17 просто единицу.
Надо упорядочить как угодно показатели, о которых шла речь, например, пусть порядок таков: 3, 2, 1.
Надо умножить первый на второй, удвоить и прибавить сумму первого и второго, будет 17. Затем умножить 17 на третий показатель, удвоить и сложить с суммой 17 и третьего, будет 52. Тогда данное число будет гипотенузой 52 различных прямоугольных треугольников. Метод останется неизменным, каково бы ни было число множителей и их степени.
Другие простые числа, которые не превосходят кратное четырех на единицу, так же как их степени, ничего не добавляют к искомому числу и ничего от него не убавляют.
Найти число, которое будет гипотенузой столько раз, сколько это желательно.
Пусть надо найти число, которое представлялось бы гипотенузой семью различными способами.
Данное число 7 удваиваем, будет 14. Прибавляем единицу, будет 15. Берем все простые делители 15, будет 3 и 5. Вычитаем из каждого единицу и берем половину остатков, получим 1 и 2. Возьмем теперь столько различных простых множителей, сколько имеется чисел, а именно два, и перемножим между собой эти простые множители, придав им показатели 1 и 2, именно один па квадрат другого; так получим число, удовлетворяющее условию, лишь бы только простые числа на единицу превосходили кратное четырех.
На основании этого легко найти наименьшее число, которое представлялось бы гипотенузой столькими способами, сколько это желательно.
Найти число, которое представлялось бы суммою двух квадратов столькими способами, сколько это желательно.
Пусть предложено 10 способами. Удвоенное его 20, берем все простые множители, получим 2, 2, 5. Вычитаем из каждого по единице, получим 1, 1, 4. Значит, нужно взять три простых числа, каждое из которых превосходит на единицу некоторое кратное четырех, например числа 5, 13, 17; взяв квадрато-квадрат одного из них (из-за показателя 4), умножим на остальные два и получим, таким образом, искомое число.
На основании этого легко найти наименьшее число, которое представимо суммой двух квадратов столько раз, сколько это желательно.
С другой стороны, вот метод, чтобы узнать, сколькими способами заданное число может быть составлено из двух квадратов.
Пусть дано число 325. Его простыми делителями, которые превосходят на единицу кратное четырех, будут 5, 13, последнее — один раз, а первое — в квадрате. Возьмем показатели 2, 1. Сложим их произведение и сумму, это дает 5, прибавим единицу, что дает 6, берем половину 3. Значит, столькими способами данное число составляется из двух квадратов.
Если получатся три показателя, например 2, 2, 1, то процедура будет такова. Произведение двух первых, сложенное с их суммой, даст 8. Умножаем на третий и прибавляем сумму сомножителей, что дает 17. Прибавляем, наконец, единицу, что дает 18, половина которого есть 9. Столькими способами предложенное число будет составляться из двух квадратов.
Если последнее число, от которого нужно взять половину, будет нечетным, то от него следует отнять единицу и взять половину остатка.
Можно еще задаться следующим вопросом: найти целое число, сумма которого с заданным числом будет квадратом и которое, с другой стороны, будет гипотенузой стольких прямоугольных треугольников, сколько это желательно.
Этот вопрос труден. Если, например, требуется найти число, которое будет дважды гипотенузой и при прибавлении 2 дает квадрат, то число 2023 удовлетворяет условию, имеется и бесконечно много других, как 3362 и т. д.
OBSERVATIO D. P. F
VIII (p. 133)
Ad commentarium in quæstionem II Libri IV.
QUÆSTIO DIOPHANTI: Invenire duos numeros, ut illorum intervallum datum faciat numerum et cuborum quoque ab ipsis ortorum sit quod præscribitur intervallum.
QUÆSTIO PRIMA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Oportet autem duplum minoris cubi non superare majorem.
Canon: Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per summam cuborum, a majore quotiente aufer minus latus, et minorem quotientem aufer a majore latere; relinquentur cuborum quæsitorum latera.
Determinationem operationis iteratione facillime tollimus et generaliter tum hanc quæstionem turn sequentes quæstiones construimus, quod nec Bachetus nec ipse Vieta[9] expedire potuit. Sint dati cubi 64 et 125. inveniendi alij duo quorum summa æqualis sit datorum intervallo. Ex quæstione tertia folio sequenti[10] quærantur duo alij cubi quorum differentia æquet differentiam datorum. Illos Bachetus invenit et sunt 15252992 / 250047 et 125 / 250047 isti duo cubi ex constructione habent intervallum æquale intervallo datorum. Sed isti duo cubi inventi per quæstionis tertiæ operationem possuntiam transferri ad quæstionem primam cum duplum minoris non superet maiorem, datis itaque his duobus cubis quærantur alij duo quorum summa æquetur intervallo datorum, id quidem licet per determinationem huius quæstionis primæ. At intervallum datorum horum cuborum est per quæstionem tertiam æquale intervallo cuborum prius sumptorum 64. et 125. igitur construere nihil vetat duos cubos quorum summa æqualis sit intervallo datorum 64. et 125. quod sanè miraretur ipse Bachetus. Imo si tres istæ quæstiones eant in circulum et iterentur in infinitum, dabuntur duo cubi in infinitum idem præstantes, ex inventis enim ultimo duobus cubis quorum summa æquet differentiam datorum, per quæstionis secundæ operationem quæremus duos alios quorum differentia æquet summam ultimorum, hoc est intervallum priorum et ex hac differentiâ rursum quæremus summam et sic in infinitum.
Перевод:
Повторяя операцию, легко можно избавиться от условия [т. е. от ограничения, — И. Б. ] и решить общим образом как этот вопрос, так и следующие, чего не смогли сделать ни Баше, ни сам Виет.
Пусть даны два куба 64 и 125; требуется найти два других куба, сумма которых была бы равна разности данных.
Найдем методом, данным Баше при решении задачи 3 (на следующей странице) два других куба, разность которых будет равна разности двух заданных. Баше нашел их, это 15252992/250047 и 125/250047. По построению разность их равна разности двух данных кубов; но, после того как они найдены методом задачи 3, поскольку удвоенный меньший не превосходит большего, их можно взять в качестве данных задачи 1.
Таким образом, мы получим два данных куба и будем искать два других, сумма которых равна разности данных; так как условие, указанное для задачи 4, выполнено, то решение можно получить без затруднений. Но разность кубов, найденных путем решения задачи 3, равна разности двух первоначально заданных кубов 64 и 125; итак, ничто не мешает построить два куба, сумма которых равна разности данных 64 и 125, что, конечно, удивило бы самого Баше.
Более того, проходя по кругу эти три задачи и повторяя это до бесконечности, получим бесконечно много пар кубов, удовлетворяющих одному и тому же условию; действительно, после того как мы нашли два куба, сумма которых равна разности данных, мы можем методом задачи 2 найти два других, разность которых равна сумме наших двух кубов, т. е. разности первоначально данных; от разности мы перейдем к сумме и так до бесконечности.
OBSERVATIO D. P. F
IX (p. 135)
Ad eumdem commentarium.
QUÆSTIO SECUNDA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire duos alios, quorum differentia æquet summam datorum.
Canon: Utrumque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos divide per intervallum cuborum, et minori quotienti adde majus latus, atque a majore quotiente aufer minus latus; summa et residuum exhibebunt quæsitorum latera cuborum.
QUÆSTIO TERTIA BACHETI: Datis duobus cubis, invenire alios duos, quorum differentia æquet datorum differentiam. Oportet autem duplum minoris excedere majorem.
Canon: Productum ex utroque cubo ter in latus alterius divide per summam cuborum: a majore quotiente aufer minus latus, a minore quotiente aufer majus latus, relinquentur latera quæsitorum cuborum.
Huius quæstionis determinationem non esse legitimam simili quâ usi in primâ quæstione sumus operatione aperiemus.
Imo ex supradictis quæstionem quam Bachetus ignoravit, feliciter construemus, datum numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos dividere, idque infinitis modis per operationum continuatam ut supra monnuimus, iterationem.
Sint duo cubiquibus alij duo æquales inveniendi 8. et 1. primum ex quæstione secunda quærantur duo cubi quorum differentia æquet summam datorum, eruntque 8000 / 343 et 4913 / 343 Quia duplum minoris excedit maiorem, res deducitur ad tertiam quæstionem, quæ demum reducetur ad primam et constabit propositio, Si velis secundam solutionem rursus quæstio redibit ad secundatm etc.
Ut autem pateat quæstionis tertiæ deterviniationem non esse legitimam. datis duobus cubis 8. et 1. inveniendi alij duo quorum differentia æquet differentiam datorum. Sanè Bachetus impossibilem hanc quæstionem pronuntiaret, cubi tamen duo per nostram methodum inventi sunt sequentes quorum nempe differentia æquatur 7. differentire 8. et 1. Cubi autem illi duo, sunt 2024284625 / 6128487 et 1981385216 / 6128487. latera ipsorum 1265 / 183. et 1256 / 183.
Перевод:
Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1.
Более того, на основании вышеизложенного мы благополучно решим задачу, неизвестную Баше: Данное число, составленное из двух кубов, разложить на два других куба, и это бесконечным числом способов, путем непрерывного повторения операций, как это было указано выше.
Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба, разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и 4913/343.
Так как удвоенный меньший превосходит больший, то дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и получим решение.
Если мы хотим получить второе решение, то возвращаемся к задаче 2 и т. д.
Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3, незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других куба, разность которых равна разности данных.
Баше объявил бы, конечно, что задача невозможна; однако нашим методом найдены два куба, разность которых равна 7, т. е. разности 8 и 1. Эти два куба таковы, 2024284625/6128487 и 1981385216/6128487, а их стороны равны 1265/183 и 1256/183.
OBSERVATIO D. P. F
X (p. 146)
Ad commentarium in quæstionem XI Libri IV.
QUÆSTIO DIOPHANTI: Invenire duos cubos suis æquales lateribus.
QUÆSTIO BACHETI: Invenire duos cubos quorum summa ad summam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.
Eadem addenda huic determinationi quæ in notis sequentis[11] addidimus, et miror Bachetum non quod methodum generalem, quæ sanè est difficilis, non viderit, sed quod saltem non admonuerit lectores hanc quæ ab ipso traditur, non esse generalem.
Перевод:
Это условие должно быть дополнено, как это мы сделали в следующем замечании. Не приходится удивляться, что Баше не увидел общего метода, который действительно труден; но он должен был, по крайней мере, предупредить читателя, что метод, который он дает, не является общим.
OBSERVATIO D. P. F
XI (p. 148)
Ad quæstionem XII Libri IV.
Invenire duos cubos quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum.
Utrum verò invenire liceat duo quadratoquadrata quorum intervallum æquale sit intervallo laterum ipsorum, de hoc inquiratur et tentetur artificium nostræ methodi, quod haud dublè succedet.
Quærantur enim duo quadratoquadrata ita ut differentia laterum sit 1. et differentia quadratoquadratorum sit cubus. Erunt latera per primam operationem — 9 / 22 et 13 / 22. Sed quia primus numerus notatur signo — iteretur operatio iuxta nostram methodum et ponatur primum latus 1N — 9 / 22 secundum erit 1N + 13 / 22 et incidetur in novam æquationem quæ in veris numeris quæstioni satisfaciet.
Перевод:
Если требуется найти два квадрато-квадрата, разность которых равна разности их сторон, то вопрос может быть решен с помощью нашего метода.
Действительно, пусть нужно найти два квадрато-квадрата, разность которых равна кубу, а разность их сторон 1. Применяя первую операцию, найдем стороны — 9 / 22 и 13 / 22.
Но поскольку первое из этих чисел отмечено знаком —, то следует повторить операцию, следуя нашему методу, приравняв первую сторону x — 9 / 22, вторую x + 13 / 22, и, таким образом мы получим положительные числа, удовлетворяющие задаче.
OBSERVATIO D. P. F
XII (p. 148)
Ad commentarium in eamdem quæstionem.
QUÆSTIO BACHETI: Invenire duos cubos, quorum intervallum ad intervallum laterum datam habeat rationem, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati.
Determinatio est illegitima, quia non generalis, addendum igitur, vel multiplex per numeros primos qui superant unitate ternarij multiplices, aut ab ipsis compositos ut 7. 13. 19. 37. etc. vel 21. 91. etc. demonstratio et constructio ex nostra methodo petendæ.
Перевод:
Условие незаконно, так как оно не общее. Нужно добавить: „или быть произведением (квадрата) на простое число, которое превосходит на единицу кратное трех, или на число, составленное из таких простых чисел“, как 7, 13, 19, 37 и т. д. или 21, 91 и т. д. Доказательство и решение получаются из нашего метода.
OBSERVATIO D. P. F
XIII (p. 154)
Ad quæstionem XVII Libri IV.
Invenire tres numeros æquales quadrato, ita ut quadratus cujuslibet ipsorum adscito sequente numero faciat quadratum.
Elegantius fortassè ita solvetur hæc quæstio, ponatur primus numerus 1.N. secundus 2N + 1 ut cum quadrato primi conficiat quadratum, ponatur tertius quilibet unitatum et numerorum numerus, eâ conditione ut additus quadrato secundi conficiat quadratum, V. G. [verbi gratia] sit 4.N. + 3. ita igitur duabus propositi partibus fit satis, superest ut summa trium, sed et quadratus tertij unâ cum primo conficiat quadratum, summa trium est 4 + 7N. summa verò quadrati tertij et primi est. 9 + 25N + 16Q. oriturque duplicata æqualitas cuius solutio in promptu si unitates quadratas ad eumdem numerum quadratum in utrovis numero quadrato adæquando revoces.
Eademque viâ facillimè extendetur quæstio ad 4. numneros et infinitos cavendum enim solummodo erit ut summa unitatum quæ in singulis numeris ponuntur conficiat quadratum quod quider facillimum est.
Перевод:
Эта задача допускает, пожалуй, более изящное решение. Положим первое число x, второе 2 x + 1, так что, прибавленное к квадрату первого, оно дает квадрат. Для третьего выберем произвольно коэффициент при x и свободный член, с условием, чтобы прибавление квадрата второго давало квадрат; например, пусть оно будет 4 x + 3.
Таким образом, два условия удовлетворены; нужно еще, чтобы сумма всех трех, а также квадрат третьего вместе с первым составляли квадраты.
Но сумма трех есть 4 + 7 x сумма же квадрата третьего и первого 9 + 25 x + 16 x 2.
Получаем двойное равенство, в котором свободные члены являются квадратами; поэтому решить его легко, сделав эти члены равными одному и тому же квадрату.
Тем же методом можно распространить задачу на четыре числа и так до бесконечности; достаточно сделать, чтобы свободные члены в выражениях для отдельных чисел были квадратами, а это очень легко.
OBSERVATIO D. P. F
XIV (p. 156)
Ad quæstionem XVIII Libri IV.
Invenire tres numeros æquales quadrato, ut cujusvis ipsorum quadratus, dempto qui eum ordine sequitur, faciat quadratum.
Eodem quo in superiore quæstione usi sumus ratiocinio hanc quoque solvemus et ad quotlibet numeros extendemus.
Перевод:
Способ рассуждения, который мы применили к предыдущей задаче, позволяет решить и эту и распространить ее на произвольное число чисел.
OBSERVATIO D. P. F
XV (p. 159)
Ad quæstionem XX Libri IV.
Invenire tres numeros indefinite, ut quem bini producunt mutua multiplicatione, adscita unitate, faciat quadratum.
Proponatur invenire tres numeros ut quem bini producunt mutuâ multiplicatione adscitâ unitate faciat quadratum et præterea unusquisque trium adscitâ unitate, faciat quadratum.
Huius quæstionis solutionem subjungenus et iam confecta est[12]. Ita fiat solutio indefinita præsentis quæstionis[13] ut unitates primi et tertij numeri addita unitate conficiant quadratos v g. [verbi gratia] sint tres numeri indefinitè primus 169 / 5184 N. + 13 / 36 Secundus 1N. Tertius 7225 / 5184 N + 85 / 36 Patet solutionem hanc indefinitam satisfacere conditionibus huius quæstionis secundæ.
Super est ut singuli ex illis numeris adscitâ unitate conficiant quadratos et orietur triplicata æqualitas, cuius solutio erit in promptu ex nostrâ methodo cum numerus unitatum in quolibet ex istis numeris unitate auctis sit quadratus.
Перевод:
Пусть предложено найти три числа, произведение любых двух из которых, увеличенное на единицу, будет квадратом, и, кроме того, каждое из этих чисел, увеличенное на единицу, дает квадрат.
Мы присоединим решение этого вопроса к уже рассмотренному [см. задачу V 3 — И. Б. ]. Пусть взято неопределенное решение данной задачи Диофанта так, что свободные члены для X 1 и X 2, увеличенные на единицу, являются квадратами. Пусть, например, три неопределенных числа будут: первое 169 / 5184 x + 13 / 36, второе x, третье 7225 / 5184 x + 85 / 36.
Ясно, что они удовлетворяют данной задаче неопределенным образом, сверх того, нужно, чтобы каждое из этих чисел, увеличенное на единицу, давало квадрат, т. е. возникает тройное равенство, которое легко решить нашим методом, так как свободный член каждого из выражений, после прибавления единицы, становится квадратом.
OBSERVATIO D. P. F
XVI (p. 161)
Ad quæstionem XXI Libri IV.
Invenire quatuor numeros, ut qui fit ex binorum mutua multiplicalione, adscita unitate, faciat quadratum[14].
Inveniantur tres numeri quilibet ut qui fit binorum mutuâ multiplicatione adscita unitate faciat quadratum, v. g. [verbi gratia] sint illi numeri 3. 1. 8. quæratur iam quartus eâ conditione ut qui fit sub tribus inventis sigillatim in quartum adscita unitate sit quadratus, ponatur inveniendus esse 1N. ergo 3N + 1. item 1N + 1. item 8N + 1. æquantur quadrato et oritur triplicata æqualitas cuius solutio inventioni nostraæ debetur. Vide quæ adnotavimus ad quæstionem 24. libri 6.
Перевод:
Следует найти три числа такие, что их произведение по два, увеличенное на единицу, образует квадрат; пусть, например, это числа 3, 1, 8.
Теперь следует искать четвертое такое, что его произве дение на каждое из трех найденных будет квадратом после увеличения на единицу. Пусть это число будет x, тогда
3 x + 1, x + 1, 8 x + 1
равны квадратам, и возникает тройное равенство, которое решается найденным нами методом. Смотри мое замечание к задаче VI 24[в нашем издании VI 22 — И. Б. ].
OBSERVATIO D. P. F
XVII (p. 165)
Ad quæstionem XXIII Libri IV.
Invenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus adscito quolibet ipsorum faciat quadratum.
Non solum absque lemmate Diophanti[15], sed etiam absque duplicata æqualitate[16], solvetur quæstio. Ponatur solidum sub tribus 1.q.—2.N. primus numerorum sit unitas secundus 2.N. Ita namque duobus partibus propositionis satisfit, pro tertio dividatur solidum sub tribus, 1.Q — 2N. per rectangulum sub primo et secundo, quod est 2N. orietur ex hac divisione tertius, 1 / 2 N — 1 quo addito ad solidurn sub tribus fit 1Q — 3 / 2 N — 1 quod æquari debet quadrato. Oportet autem valorem numeri maiorem esse binario propter positiones iam factas. Æquetur igitur quadrato cuius latus 1N — aliquo unitatum numero binario maiori. Omnia constabunt.
Перевод:
Задача может быть решена не только без леммы Диофанта[17], но и без двойного равенства[18]. Положим:
тело из трех чисел....... x 2 — 2 x,
первое число.............. 1,
второе число.............. 2 x.
И два условия задачи будут удовлетворены.
Чтобы найти третье, разделим тело из трех, x 2 — 2 x, на прямоугольник на первом и втором, 2 x; из этого деления получится третье 1 / 2 x 2 — 1, которое, сложенное с телом из трех, дает x 2 — 3 / 2 — 1, что должно равняться квадрату.
Кроме того, в силу сделанных предположений нужно, чтобы значение x превосходило 2; поэтому приравняем квадрату, сторона которого равна x минус произвольное число, большее двух. Остальное известно.
OBSERVATIO D. P. F
XVIII (p. 180)
Ad commentarium in quæstionem XXXI Libri IV.
QUÆSTIO: Invenire quatuor numeros quadratos, quorum summa, cum summa laterum conjuncta, numerum imperatum faciat[19].
Imo propositionem pulcherrimam et maxime generalem nos primi deteximus. Nempe omnem numerum vel esse triangulum vel ex duobus aut tribus triangulis compositum esse quadratum vel ex duobus aut tribus aut quatuor quadratis compositum esse pentagonum, vel ex duobus tribus quatuor aut quinque pentagonis compositum et sic deinceps in infinitum in hexagonis heptagonis et polygonis quibuslibet enuntianda videlicet pro numero angulorum generali et mirabili propositione; eius autem demonstrationem quæ ex multis varijs et abstrusissimis numerorum mysterijs derivatur hic apponere non licet, opus enim et librum integrum huic operi destinare decrevimus et Arithmeticen hac in parte ultra veteres et notos terminos mirum in modum promovere.
Перевод:
Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наиболее общее предложение, а именно: каждое число является либо треугольным, либо суммою двух или трех треугольных; либо квадратом, либо суммою двух, трех или четырех квадратов; либо пятиугольным, либо суммою двух, трех, четырех или пяти пятиугольных, и так далее до бесконечности, для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел; это чудесное и общее предложение может быть высказано, очевидно, для любого числа углов.
Здесь невозможно дать его доказательства, которое зависит от многочисленных и сокровеннейших тайн науки о числах; мы намерены посвятить этому предмету целую книгу и продвинуть удивительным образом эту часть Арифметики за пределы, известные в древности.
OBSERVATIO D. P. F
XIX (p. 188)
Ad quæstionem XXXV Libri IV.
Datum numerum dividere in tres numeros, ut qui fit primo in secundum ducto, sive addito tertio, sive detracto, quadratum faciat. Esto datus 6.
Ita facilius fiet operatio, datus numerus 6. utcunque dividatur v. g. [verbi gratia] in 5. et 1. productus demptâ unitate hoc est 4. per 6. datum numerum dividatur, eveniet 2 / 3 Quem si turn à 5. tum ab 1 abstuleris duo residua 13 / 3 et 1 / 3 erunt duæ priores partes numeri dividendi 3. igitur erit 4 / 3[20].
Перевод:
Это можно сделать более легким способом. Разложим произвольным образом данное число 6 на две части, например на 5 и 1. Произведение их, из которого вычтена единица, т. е. 4, поделим на данное число 6, получится 2 / 3. Это частное вычтем как из 5, так и из 1; тогда оба остатка 13 / 3 и 1 / 3 можно взять в качестве двух первых частей числа, которое должно быть разложено; тогда третья будет 4 / 3.
OBSERVATIO D. P. F
XX (p. 203)
Ad commentarium in quæstionem XLIV Libri IV.
QUAESTIO. — Invenire tres numeros, ut compositus ex tribus multiplicatus in primum faciat triangulum, in secundum faciat quadratum, in tertium faciat cubum.
BACHETUS. — … Adverte postremo, in fingendo latere ultimi quadrati, talem adhibendam esse cautionem, ut valor Numeri reperiatur in integris numeris, quum numerus triangulus non posset esse nisi integer. Id autem semper succedet operando modo a Diophanto tradito, si quadrati latus fingatur a tot Numeris qui sint latus quadratorum in numero quadrato æquando contentorum -1. Cæterum vix aliter id fieri posse, satis experiendo deprehendes[21].
Experientiam non satis exactam fecit Bachetus. Sumatur quilibet cubus v. g. [verbi gratia] cuius latus multiplici ternarii superaddat unitatĕ Erunt, v.g. [verbi gratia], 2Q — 344 æquando triangulo ergo 16.Q — 2751 æquabuntur quadrato cuius latus finges si libet, 4N — 3. etc. Nihil enim vetat quo minus generali methodo loco etiam ipsius 3. reliquos in infinitum impares usurpemus, variando cubos.
Перевод:
Сделанные Баше попытки недостаточно точны. Действительно, возьмем в качестве V 3 произвольный куб, сторона которого превосходит кратное трех на единицу. Например,
2 x 2 — 344 нужно приравнять треугольнику[22];
значит,
16 x 2 — 2751 будет равно квадрату,
в качестве корня которого можно взять, если угодно, 4 x — 3 и т. д.
На самом деле ничто не мешает обобщить метод и взять вместо 3 другое произвольное нечетное число, только надо выбрать соответствующий куб.
OBSERVATIO D. P. F
XXI (p. 209)
Ad commentarium in qusestionem XLV Libri IV.
QUAESTIO DIOPHANTI. — Invenire tres numeros, ut intervallum majoris et medii ad intervallum medii et minoris datam habeat rationem, sed et bini sumpti quadratum conficiant.
BACHETUS. — …Quemadmodum ergo in hac quæstione Diophantus docet modum quo duo numeri simul æquentur quadrato, quum uterque componitur ex Numeris et unitatibus, et numeri Numerorum sunt inæquales, nec habent rationem quadrati ad quadratum, numeri autem unitatum sunt inæquales et quadrati: sic aio modum dari posse resolvendi duplicatam æqualitatem, quum uterque propositorum numerorum quadrato æquandorum componitur ex Numeris et unitatibus, et numeri Numerorum sunt inæquales, nec habent rationem quadrati ad quadratum, sed et numeri unitatum inæquales sunt, sive quadrati sint, sive non. Id autem prastabimus in duplici casu.
Primus casus est, quum numerorum quadrato æquandorum intervallum tale est ut, eo per aliquem unitatum numerum multiplicato vel diviso, et producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, supersit unitatum numerus solus quadratus…
Secundus casus est, quum numerorum quadrato æquandorum intervallum tale est ut, eo per aliquem unitatum numerum multiplicato vel diviso, et producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, deficiat unitatum numerus solus, qui ad multiplicatorem vel divisorem rationem habeat quadrati ad quadratum…
Sed proponatur si placet hæc duplicata æqualitas nempè 2N. + 5. et 6N.+3. æquandi quadrato. Quadratus æquadus 2N. + 5. erit 16 et quadratus æquandus 6N. + 3. erit 36. et invenientur alij in infinitum quæstioni satisfacientes, nec difficile est regulam generalem ad huiusmodi quæstionum solutionem proponere, ut vix limitatio ista Bacheti sit tanto viro digna, cum ad infinitos casus extendi, quod in duobus tantum adinvenit, facillime possit, imo et ad casus omnes possibiles.
Перевод:
Но пусть будет предложено, например, двойное равенство: 2 x + 5 и 6 x + 3 равны квадрату:
2 x +5 можно взять равным 16,
6 x +3 можно взять равным 36,
и можно найти бесконечно много других, удовлетворяющих задаче. К тому же нетрудно дать общее правило для решения задач этого рода, так что ограничения, данные Баше, едва ли достойны такого мужа, потому что можно легко распространить то, что он нашел для двух случаев, на бесконечное число случаев, более того, на все возможные случаи.
OBSERVATIO D. P. F
XXII (p. 215)
Ad quæstionem III Libri V.
Dato numero apponere tres numeros, ut quilibet ipsorum et qui a binis producitur quibusvis, datum adsumens numerum, faciat quadratum.
Ex hac propositione facilè deducetur sequens quæstio. Invenire 4. numeros eâ conditione, ut quod sub binis producatur, adscito dato numero faciat quadratum. Inveniantur tres quæstioni satisfacientes ita ut singuli dato numero aucti conficiant quadratos iuxta hanc propositionem. Ponatur quartus inveniendus esse 1N. + 1 orietur triplicata æqualitas cuius solutio nostræ methodi beneficio erit in promptu. Vide adnotata ad 24. quæstionem lib. 6. solvetur itaque quæstio quam proposuit Bachetus[23] ad quæstionem 12. lib. 31. per hanc methodum quæ cum multò sit generalior, hoc præterea amplius habet quam methodus Bacheti, quod tres priores numeri aucti dato numero conficiant quadratos in nostrâ solutione. An verò ita solvi possit quæstio ut etiam quartus auctus dato numero conficiat quadratum, Hoc sanĕ hactenus ignoramus. Inquiratur itaque ulterius[24].
Перевод:
Из этого предложения легко выводится решение следующего вопроса:
Найти четыре числа при условии, что произведение любых двух из них, сложенное с данным числом, дает квадрат.
Возьмем три числа, удовлетворяющих задаче, так что каждое из них, сложенное с данным числом, составит квадрат, как это и было предложено. Пусть четвертым искомым будет x + 1. Получим тройное равенство, решение которого легко находится с помощью нашего метода. Смотри замечание к задаче VI 24[в настоящем издании VI 22 — И. Б. ].
Этим решается и вопрос, предложенный Баше к задаче III 12[у нас III 10 — И. Б. ], и помимо того, что метод более общий, он имеет еще то преимущество перед методом Баше, что при нашем решении три первых числа, сложенные с данным, составляют квадрат.
Однако мне до сих пор неизвестно, можно ли решить задачу при условии, что и четвертое число, сложенное с данным, составляет квадрат. Это надо будет еще исследовать.
OBSERVATIO D. P. F
XXIII (p. 220)
Ad quæstionem VIII Libri V.
Invenire tria triangula rectangula quorum area sint æquales.
Num vero inveniri possunt 4. aut etiam plura in infinitum triangula æqualis areæ nihil videtur obstare quo minus quæstio sit possibilis. inquiratur itaque ulterius.
Nos hoc problema construximus imò et data qualibet trianguli areâ infinita triangula eiusdem aræ exhibemus v. g. [verbi gratia] data areâ 6. trianguli 3. 4. 5. en aliud triangulum eiusdem areæ 7 / 10 120 / 7 1201 / 70. aut si placet eadem denominatio 49 / 70 1200 / 70 1201 / 70.
Perpetua et constans methodus hæc est. Exponatur quodlibet triangulum cuius hypotenusa Z. basis B. perpendiculum D. ab eo sic formatur aliud triangulum dissimile eiusdem aræ, nempe formetur abs Z. quadrato et B in D. bis, et planoplana lateribus similia applicentur Z in B. quadratum bis — Z in D. quadratum bis hoc novum triangulŭ habebit aream æqualem aræ præcedentis, ad hoc secundo eâdem methodo formetur tertium, à tertio quartum, à quarto quintum et fient triangula in infinitum dissimilia eiusdem areæ et ne dubites plura tribus dari posse inventis tribus Diophanti 40. 42. 58. 24. 70. 74. et 15. 112. 113. quartum adiungimus dissimile eiusdem tamen areæ. 1412881 / 1189 hypote.[nusa] 1412880 / 1189 basis. 1681 / 1189 perpendic.[ulum]
Et omnibus in eumdem denominatorem ductis fient 4 triangula in integris æqualis areæ quæ sequuntur.
Primum. 47560. 49938. 68962.
Secundum. 28536. 83230. 87986.
Tertium. 17835. 133168. 334357.
Quartum. 1681. 1412880. 1412881
Eâdemque methodo invenientur triangula eiusdem arete in infinitum et quastio sequens ultra Diophanteos limites progredietur.
En etiam alia methodo[25] triangulum cuius aræ facit sextuplum quadrati sicut 3. 4. 5.
Nempe 2896804. 7216803. 7776485.
Перевод:
Но можно ли найти четыре или даже большее число, растущее до бесконечности, треугольников равной площади? Ничто как будто не препятствует тому, чтобы эта задача была возможной; поэтому ее надо глубже исследовать.
Мы разрешили задачу, более того, если дана площадь произвольного треугольника, мы построим бесконечно много других, имеющих ту же площадь: пусть, например, дана площадь 6 треугольника 3, 4, 5, то другим треугольником той же площади будет
7/10, 120/7, 1201/70,
или, если желательно иметь один и тот же знаменатель,
49/70, 1200/70, 1201/70.
Общий и всегда применимый метод таков. Пусть дан произвольный треугольник с гипотенузой Z, основанием B и высотой D. Из него можно вывести другой треугольник, не подобный ему, но одной с ним площади; образуем его из квадрата Z и удвоенного В на D и плоскоплоскостные стороны разделим на удвоенное Z на В квадрат — удвоенное Z на D квадрат[26]. Такой новый треугольник будет иметь площадь, равную площади предыдущего.
Отправляясь от этого второго, таким же методом образуем третий, из третьего четвертый, из четвертого пятый и получим бесконечно много неподобных треугольников одинаковой площади.
Чтобы не было сомнения в возможности построить более трех треугольников, к найденным Диофантом
40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, 113
прибавим четвертый, не подобный им и имеющий ту же площадь:
гипотенуза 1412881 / 1189, основание 1412880 / 1189, высота 1681 / 1189.
Если привести эти числа к одному знаменателю, то получим четыре треугольника в целых числах, которые отвечают одной и той же площади:
Первый 47560, 49938, 68962,
