XXXIV (p. 287)
Ad commentarium in quæstionem III Libri VI.
QUÆSTIO DIOPHANTI. — Invenire triangulum rectangulum, ut areæ eius numerus, adsumens datum numerum, faciat quadratum. Esto datus 5.
BACHETUS… Quoniam vero hinc forte venit in mentem Francisco Viete[40] quæstionem applicari posse solis numeris qui e duobus quadratis componuntur, quia Diophantus in sua hypothesi sumpserat 5, e, duobus quadratis compositum; quamvis ex ipso ductu analyseos Diophanteæ satis constet ad quemlibet numerum extendi problema, ne quis tamen supersit dubitandi locus, placet id etiam experientia comprobare…
Error Vietæ indè haud dubiè oritur. Supposuit vir clarissimnus differentiam duorum quadratoquadratorum, ut 1qq. — 1. æquari areæ cui adijciendo quintuplum quadrati fiat quadratus, si 5. numerus datus dividatur in duos quadratos poterit inveniri quintuplum quadrati à quo demptâ unitate supersit quadratus.
Ponatur igitur latus quadrati quintuplicandi esse 1.N. + 1. aut alius quivis numerorum numerus + 1. quintuplum quadrati illius erit 5Q + 10.N. + 5 cui si adiicias aream 1QQ — 1 fiet 1QQ + 5Q + 10.N + 4. quæ summa debet æquari quadrato, hoc autem non est operosum. Cum numerus unitatum ex hypothesi adjectâ problemati, sit quadratus. Non vidit Vieta quæstionem perinde resolvi posse si loco 1QQ — 1 sumpsisset pro areâ 1 — 1QQ. eo enim deducenda statirn quæstio ut datus numerus 5 vel 6. vel alius quilibet in quadraturm ductus adjectâ unitate conficiat quadratum quod generaliter est facillimnum cum unitas sit quadratus.
Nos peculiari methodo[41] quæstionem hanc et duas proximas[42] resolvimus, cuius beneficio dum quærimus triangulum cuius area unâ cum 5 v . g. [verbi gratia] conficiat quadratum triangulum in minimis[43] exhibemus 9 / 3 40 / 3 41 / 3 cuius area 20 addito 5 facit quadratum 25. sed de ratione et usu nostræ huius methodi non est huius loci plura addere, non sufficeret sanè marginis exiguitas, multa enim habemus huc referenda.
Перевод:
Ошибка Виета[44], без сомнения, имеет такое происхождение: знаменитый муж приравнял площадь к разности двух биквадратов X 4 — 1, чтобы при прибавлении упятеренного квадрата получился квадрат.
Поскольку заданное число 5 является суммой двух квадратов, то можно найти упятеренный квадрат, который, уменьшенный на единицу, будет квадратом. Положим сторону квадрата, который нужно упятерить, равной X + 1, причем вместо +1 при X можно взять любое другое число. Упятеренный квадрат от этого будет
5 X 2 + 10 X + 5,
он после прибавления площади X 4 — 1 даст
X 4 + 5 X 2 + 10 X + 4,
что должно равняться квадрату. Это сделать нетрудно, так как число единиц является квадратом вследствие предположения, присоединенного в качестве условия.
Но Виет не заметил, что вопрос так же хорошо решается, если в качестве площади вместо X 4 — 1 взять 1 — X 4, так как тогда он немедленно приводится к тому, чтобы заданное число 5, б или любое другое, умноженное на квадрат, сделать квадратом после прибавления единицы, что всегда легко решить, поскольку единица является квадратом.
Мы решили эту и две последующие задачи особым методом, который позволяет, например, отыскать треугольник, площадь которого, увеличенная на 5, составляет квадрат; а именно такой треугольник в минимальных числах есть (9/3, 40/3, 41/3); площадь его 20 и при прибавлении 5 дает квадрат 25.
Но здесь не место для развития принципа и применения этого метода; для этого недостаточны размеры полей, так как нам надо много сказать по этому поводу.