XXXIX (p. 298)
Ad quæstionem XIII Libri VI.
Invenire triangulum rectangulum ut numerus aræa, adsumens alterutrum laterum circa rectum, faciat quadratum.
Unius tantum speciei triangula Diophantus exhibet propositum adimplentia, Sed ex nostrâ methodo suppetunt infinita diversæ speciei triangula quæ ex Diophantæo per ordinem derivantur.
Sit igitur inventum triangulum 3. 4. 5. cuius hæc est proprietas ut qui fit mutuo ductu laterum circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorumdem, et areâ contento faciat quadratum[53]. Ab eo deducendum aliud eiusdem proprietatis, sit maius ex lateribus circa rectum trianguli quætsiti 4. minus vero 3 + 1N. Rectangulum sub lateribus circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum intervallo eorundem et areâ contento, facit 36 — 12N. — 8Q. quae ideo debent æquari quadrato. Cum autem latera 4 et 3 + 1N. sint latera circa rectum trianguli rectanguli, debent etiam eorum quadrata iuncta æquari quadrato. Quadrata illa iuncta faciunt 25 + 6N + 1Q. quæ idcircò etiam æquanda quadrato. Et oritur duplicata æqualitas, nam 36 — 12. N — 8Q. et etiam 25 + 6N + 1Q. debent æquari quadrato. Eius æqualitatis duplicatae solutio est in promptu.
Перевод:
Диофант дает только один вид треугольников, удовлетворяющих задаче; однако наш метод доставляет бесконечно много треугольников различных видов, которые могут быть выведены последовательно из решения Диофанта.
Итак, пусть уже найден треугольник (3, 4, 5), который удовлетворяет условию, „чтобы произведение сторон при прямом угле, сложенное с произведением большего катета, разности этих катетов и площади, давало квадрат“. Из него надо вывести другой треугольник, обладающий тем же свойством.
Пусть наибольшая из сторон при прямом угле искомого треугольника будет 4, а наименьшая 3 + X. Произведение сторон при прямом угле, к которому прибавленно произведение наибольшей стороны при прямом угле на разность этих сторон и площадь треугольника, составит 36 — 12 X — 8 X 2, что надо приравнять квадрату. Кроме того, стороны 4 и и 3 + X, будучи сторонами при прямом угле прямоугольного треугольника, должны давать сумму квадратов, равную квадрату; но сумма их квадратов составляет 25 + 6 X + X 2, что также надо приравнять квадрату. И получается двойное равенство, именно:
36 — 12 X — 8 X 2 и 25 + 6 X + X 2
должны равняться квадратам. Решение его найти легко.