Еще другие формы, связанные с качественною определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления есть в своем утвердительном смысле качественная определенность величины, о которой будет далее сказано, что она в этом исчислении рассматривается не только вообще, но на особенном отношении степенной функции к функции ее развития. Но эта качественная определенность является еще в дальнейшей, так сказ., слабейшей форме, и последняя, равно как связанное с нею употребление бесконечно малых и их смысл при таком употреблении, должны быть рассмотрены в настоящем примечании.
Исходя из вышеизложенного, мы должны в этом отношении припомнить, что различаемые степенные определения с аналитической стороны проявляются прежде всего, как формальные и совершенно однородные, что они означают числовые величины, не имеющие, как таковые, качественного различия одна от другой. Но в приложении к пространственным предметам аналитическое отношение обнаруживается вполне в своей качественной определенности, как переход от линейных к плоскостным {207} определениям, от прямолинейных к криволинейным и т. д. Далее это приложение приводит к тому, что пространственные предметы, данные по их природе в форме непрерывных величин, понимаются дискретно, — плоскость, как множество линий, линия, как множество точек и т. д. Единственный интерес такого разложения состоит в определении самых точек, на которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость и т. д., дабы от такого определения подвигаться далее аналитически, т. е. собственно арифметически; эти исходные пункты суть элементы искомых определений величины, из которых (элементов) должны быть выведены функция и уравнение для конкретного, для непрерывной величины. Для решения задач, в коих по преимуществу обнаруживается интерес к употреблению этого приема, требуется в качестве исходного элемента нечто определенное для себя самого в противоположность непрямому ходу решения, поскольку последний может начинать лишь с пределов, между которыми лежит то определенное для себя, которое служит ему целью. Результаты обоих методов совпадают, если только может быть найден закон дальнейшего процесса определения при отсутствии возможности достигнуть полного, т. е. т. наз. конечного определения. Кеплеру приписывается честь впервые придти к мысли такого обратного приема и принятие дискретного за исходный пункт. Объяснение того, как он понимает первое предложение архимедова измерения круга, выражает это очень просто. Первое предложение Архимеда состоит, как известно, в том, что круг равен прямоугольному треугольнику, один катет которого есть радиус, а другой равен длине окружности. Находя смысл этого предложения в том, что окружность круга содержит столько же частей, как точек, т. е. бесконечно много, из коих каждая может считаться основанием равнобедренного треугольника и т. д., Кеплер выражает тем самым разложение непрерывного в форму дискретного. Встречающееся здесь выражение бесконечное еще очень далеко от того определения, какое дается ему в дифференциальном исчислении. Если для таких дискретных частей найдена определенность, функция, то они должны быть далее соединены, служить элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линию, никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже изначала принимаются за линейные, а линии — за плоскостные. Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, т. к. умножение вообще производится над числами, т. е. есть такое их изменение, при котором то, во что они переходят, совершенно однородно с произведением, есть изменение только величины. Напротив, то, что называется умножением линии, как таковой, на линию — т. е. ductus liniae in liniam или plani in planum, которое есть также ductus puncti in lineam — есть изменение не только величины, но последней, как качественного определения пространства, как измерения; переход линии в плоскость должен быть понимаем, как выход из себя, поскольку выход из себя точки есть линия, плоскости — полное пространство. То же самое получается, когда пред {208} ставляют себе, что движение точки образует линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и потому является в этом представлении лишь более случайным, внешним изменением состояния; между тем под выходом из себя должно понимать определенность понятия, качественное изменение — выражаясь арифметически, умножение — единицы (как точки и т. п.) в определенное число (линию и т. п.). При этом следует еще заметить, что при выходе из себя площади, который является как бы умножением площади на площадь, оказывается, по-видимому, различие между арифметическим и геометрическим произведением, так как выход из себя площади, как ductus plani in planum, арифметически дает умножение второго измерения на второе, т. е. произведение четырех измерений, геометрически понижаемое, однако, до трех. Насколько число с одной стороны, так как оно имеет своим принципом единицу, дает прочное определение внешнему количественному, настолько же произведение его формально; как числовое определение, 3*3, умноженное само на себя, есть 3*3*3*3; но та же величина, умноженная на себя, как определение площади, удерживается на 3*3*3, так как пространство, представляемое, как выход за себя точки, отвлеченного предела, имеет свой истинный предел, как конкретную определенность линии, в третьем измерении. Это различие могло бы оказаться действительным в свободном движении, в котором одна, пространственная сторона определяется геометрически, а другая, временная, арифметически (в кеплеровом законе s 3: t 2 ).
В чем состоит различие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, ясно само собою и без дальнейшего объяснения. В последнем качественное заключалось в степенной определенности; здесь же оно, как бесконечно малое, есть лишь множитель относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Качественный же переход от дискретного, на которое представляется разложенным непрерывное, к непрерывному, осуществляется, как суммирование.
Но что кажущееся простое суммирование в действительности содержит в себе умножение, т. е. переход от линейного к плоскостному определению, это обнаруживается всего проще в том способе, каким, например, доказывается, что площадь трапеции равна произведению суммы ее параллельных сторон на половину высоты. Эта высота представляется, лишь как определенное число множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими параллельными линиями; их бесконечно много, так как они должны заполнять площадь, но они суть линии и потому, чтобы быть чем-либо плоскостным, они должны быть положены с отрицанием. Для того, чтобы избегнуть затруднения, состоящего в том, что сумма линий должна составить площадь, линии принимаются также за площади, но за бесконечно тонкие, так как они имеют свое определение исключительно в линейном параллельных сторон трапеции. Как параллельные и ограниченные другою парою прямолинейных сторон трапеции, они могут {209} считаться членами арифметической прогрессии, показатель которой остается равным, но не нуждается в определении, а первый и последний члены которой суть обе параллельные стороны; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных на половину числа членов. Это последнее количество называется числом лишь по сравнению с бесконечно многими линиями; оно есть вообще определенность непрерывной величины — высоты. Ясно, что то, что называется суммою, есть вместе с тем ductus lineae in lineam, умножение линии на линии, чтó по вышеприведенному определению предполагает их плоскостной характер. В простейшем случае прямоугольника каждый из множителей ab есть простая величина, но уже в дальнейшем также еще элементарном примере трапеции лишь один из множителей есть простая величина половины высоты, другая же определяется через прогрессию; он также есть линейное, но определенность его величины важнее; поскольку она может быть изображена лишь посредством ряда, то ее аналитический, т. е. арифметический интерес, состоит в ее суммировании; но геометрический момент последнего есть умножение, качественный переход от линейного к плоскостному измерению; один из множителей принимается за дискретный в связи с арифметическим определением другого, и, как последний, есть для себя линейная величина.
Прием, состоящий в том, чтобы представлять площади, как суммы линий, употребляется, однако, часто и тогда, когда для достижения результата не применяется умножение, как таковое. Так поступают в тех случаях, когда является надобность найти величину, как определенное количество не из уравнения, а из пропорции. Например, что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга, как малая ось к большой, из чего заключают, что также относятся между собою и суммы ординат, т. е. площади. Если желают при этом избегнуть представления площади, как суммы линий, то прибегают к обычному совершенно излишнему вспомогательному средству — к трапециям бесконечно малой ширины; так как уравнение есть лишь пропорция, то при этом установляется сравнение лишь одного из двух линейных элементов площади. Другой, ось абсцисс, принимается в круге и эллипсе за равный, след. как множитель арифметического определения величины за =1, и поэтому пропорция оказывается зависящей всецело от отношение лишь одного определяющего момента.
Для представление площади требуются два измерения; но определение величины, даваемое в этой пропорции, касается исключительно одного момента; поэтому та прибавка или поправка, что представление суммы связывается лишь с этим одним моментом, есть собственно игнорирование того, чтó здесь требуется для математической определенности.
То, что здесь сказано, служит также критерием для вышеупомянутого {210} метода неделимых Кавальери, находящего тут свое оправдание и не требующего помощи бесконечно малого. Эти неделимые при рассмотрении площадей суть линии, при рассмотрении пирамиды или конуса и т. д. квадраты, площади кругов; принимаемую за определенную основную линию или площадь он называет правилом; это постоянная величина и в ряду есть первый или последний член; сказанные неделимые параллельны ей, следовательно по отношению к фигуре определяются одинаково.
Общее основоположение Кавальери состоит в том (Exerc. geometr. VI — позднейшее сочинение Exerc. I, стр. 6), что все как плоские, так и телесные фигуры находятся в отношении к этим неделимым, что они могут быть сравниваемы между собою коллективно, а если в них есть какое-либо общее отношение, то и дистрибутивно. Для этой цели он в фигурах, имеющих равные основание и высоту, сравнивает отношения между линиями, проведенными параллельно им и на равном расстоянии от них; все такие определения некоторой фигуры имеют одинаковое определение и образуют собою весь ее объем. Таким путем Кавальери доказывает, например, и ту элементарную теорему, что при равных высотах площади параллелограммов относятся, как их основания; каждые две линии, одинаково отстоящие от основания и параллельные ему, проведенные в обеих фигурах, относятся к основаниям так же, как целые фигуры. В действительности линии не составляют объема фигуры, понимаемой как непрерывная, но суть этот объем, поскольку он определяется арифметически; линейное есть его элемент, посредством которого единственно постигается его определенность.
Мы пришли теперь к рефлексии над различением, имеющем место относительно того, в чем состоит определенность какой-либо фигуры, именно поскольку эта определенность имеет или такой характер, как в данном случае высота фигуры, или характер ее внешней границы. Если она есть внешняя граница, то допускается, что непрерывность фигуры, так сказать, следует за равенством или отношением границы; напр., равенство совпадающих фигур основывается на совпадении ограничивающих их линий. Ho y параллелограммов с одинаковыми высотою и основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница; высота же, непараллельность вообще, на которой основывается второе главное определение фигур, их отношение, присоединяет к внешней границе второй принцип определения. Евклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковые высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченному непрерывному; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограммов, граница есть определенность величины, как таковая вообще, которая обнаруживается в каждой паре линий, проведенных в обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Равные или состоящие в равном отношении с основанием линии, взятые коллективно, дают состоящие в равном отношении фигуры. Представление агрегата линий противоречит не {211} прерывности фигуры; но рассмотрение линий вполне исчерпывает ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, что представление неделимых еще не приводит к тому, чтобы можно было сравнивать между собою бесконечные по числу линии или плоскости (Geom. lib. II prop. 1 Schol.): он правильно указывает на то различие, что он сравнивает не их число, которого мы не знаем — т. е. которое правильнее, как было замечено, есть пустое вспомогательное представление, — но лишь величину, т. е. количественную определенность, как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как оно заключено в границы, то и эта величина заключена в те же границы; непрерывное есть не что иное, как само неделимое, говорит он; если бы первое было вне последнего, то оно было бы несравнимо; но было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собою.
Как видно, Кавальери желает отличать то, что принадлежит к внешнему существованию непрерывного, от того, в чем состоит его определенность, и что возвышается над последним лишь для сравнения и для цели теоремы. Правда, те категории, которыми он при этом пользуется, говоря, что непрерывное сложено или состоит из неделимых и т. п., недостаточны, так как при этом вместе с тем принимается в соображение представление непрерывного или, как сказано выше, его внешнее существование; вместо того, чтобы сказать, что «непрерывное есть не что иное, как само неделимое», было бы правильнее и тем самым само для себя ясно сказать, что определенность величины непрерывного такова же, как и самого неделимого. Кавальери не увлекается ложным выводом, будто бесконечное может быть более или менее, выводом, делаемым школою из того представления, что неделимые составляют непрерывное, и выражает далее (Geom. lib. VII praef.) более определенное сознание того, что его способ доказательства нисколько не принуждает представлять себе непрерывное сложенных из неделимых; непрерывные величины лишь пропорциональны неделимым. Он берет агрегаты неделимых не так, чтобы они подпадали определению бесконечности, не ради получения бесконечного множества линий или плоскостей, но поскольку им в них самих принадлежит определенное свойство и природа ограниченности. Но чтобы удалить и эту видимость затруднения, он не уклоняется от труда еще и в нарочно прибавленной того для седьмой книге доказать главные положения своей геометрии таким способом, который остается свободным от примеси бесконечности. Этот способ сводит доказательства к вышеупомянутой обычной форме наложения фигур одной на другую, т. е., как было замечено, к представлению определенности, как внешней пространственной границы.
Относительно этой формы наложения можно ближайшим образом сделать еще то замечание, что она есть вообще, так сказать, детское вспомогательное средство чувственного воззрения. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два рядом, и поскольку в каждом из них из шести частей известные три принимаются равными соответствую {212} щим трем другого треугольника, доказывается, что эти треугольники совпадают, т. е. что каждый из них имеет равными с другим и прочие три части, так как они вследствие равенства первых трех частей совпадают между собою. Выражаясь отвлеченнее, можно сказать, что вследствие этого равенства каждой пары соответствующих частей обоих треугольников они образуют лишь один треугольник, в котором три части уже определены, откуда следует определенность и прочих частей. Таким образом определенность (треугольника) является уже завершенною в трех его частях; для определенности, как таковой, прочие три части оказываются таким образом избытком, избытком чувственного существования, т. е. воззрения непрерывности. Выражаемая в такой форме качественная определенность выступает в своем различии от того, что предлежит воззрению, целого, как непрерывного внутри себя; наложение не возводит этого различия в сознание.
С параллельными линиями и параллелограммами связано, как было замечено, новое обстоятельство, касающееся отчасти равенства одних углов, отчасти высоты фигур, причем от последних отличаются их внешние границы, стороны параллелограмма. При этом обнаруживается двусмысленность, так как для этих фигур, кроме определенности одной стороны, основания, которое есть внешняя граница, за другую определенность нужно брать другую внешнюю границу, а именно другую сторону параллелограмма или высоту. Если даны две такие фигуры, имеющие одинаковые основание и высоту, из коих одна прямоугольная, другая же очень косоугольная, образующая с первою очень тупой угол, то образ второй легко может показаться более, чем образ первой, так как для второго определяющею служит данная бóльшая сторона, а по мнению Кавальери площади сравниваются по множеству параллельных линий, коими они пересечены; бóльшая же сторона может считаться возможностью большего числа линий, чем сторона прямоугольника. Но это представление не может служить возражением против метода Кавальери; ибо сравниваемое в обоих параллелограммах множество параллельных линий предполагает вместе с тем равенство их расстояний одной от другой, откуда следует, что вторым определяющим моментом служит именно высота, а не вторая сторона параллелограмма. Но далее это изменяется, если сравниваются между собою два параллелограмма, имеющие равные основания и высоты, но лежащие в разных плоскостях и образующие с третью плоскостью разные углы; здесь параллельные отрезки, возникающие тогда, когда их пересекают третьею плоскостью и представляют ее себе движущеюся параллельно ей самой, уже не одинаково удалены один от другого, и эти две плоскости неравны. Кавальери тщательно различает эти два случая, определяя их, как transitus rectus и transitus obliquus неделимых (как в Exercit. I n. XII и сл., так и в Geom. I, II), и тем самым отрезает путь к недоразумению, которое могло бы возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем вышеприведенном сочинении (Lect. geom. II, стр. 21), хотя он также пользуется методом {213} неделимых, но искажает его и нарушает его чистоту через переданное им его ученику Ньютону и прочим современным ему математикам, в том числе Лейбницу, признание равномерности криволинейного треугольника, напр. т. наз. характеристического, с прямолинейным, поскольку оба они бесконечно — т. е. очень — малы, приводит направленное против того возражение Таке, также прибегавшего к новым методам остроумного геометра. Указываемое последним затруднение касается также вопроса о том, какая линия, и именно при вычислении конических и сферических поверхностей, должна быть принимаема для применения основанных на дискретном соображений. Таке возражает против метода неделимых, что при вычислении поверхности прямого конуса по этому атомистическому методу треугольные сечения конуса представляются образованными прямыми линиями, параллельными основанию и перпендикулярными к оси, которые суть вместе радиусы кругов, из коих (кругов) состоит поверхность конуса, Но если эта поверхность определяется, как сумма окружностей, а эта сумма зависит от числа их радиусов, т. е. длины оси конуса, его высоты, то получаемый результат противоречит найденной и доказанной Архимедом истине. Барроу возражает на это, что при определении поверхности не ось конуса, но его образующая должна быть принимаема за ту линию, вращение которой производит эту поверхность, и которая поэтому — а не ось — должна считаться определенностью величины для множества окружностей.
Такие возражения и неточности имеют свой источник исключительно в употребляемом тут неопределенном представлении бесконечного множества точек, из которых считается состоящею линия, или линий, из которых считается состоящею площадь; этим представлением затемняется существенная определенность величины линии или площадей. Целью настоящих примечаний было указать на те утвердительные определения, которые при различном употреблении бесконечно малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и вывести их из той туманности, к которой приводит исключительно отрицательное понимание этой категории. В бесконечном ряду, напр., в архимедовом измерении круга, смысл бесконечности состоит лишь в том, что известен закон развития определения, хотя так называемое конечное, т. е. арифметическое выражение, не дано, и отожествление дуги с прямою линиею не может быть осуществлено; эта их несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще также содержит в себе отрицательное определение, вследствие которого они являются несоизмеримыми, и приводит к бесконечному в том смысле, что непрерывное, принимаемое за дискретное, не должно более быть определенным количеством по своей определенности, как непрерывного. Непрерывное, которое арифметически должно быть принимаемо за произведение, тем самым полагается, как дискретное, в нем самом, и разлагается, как на элементы, на свои множители; в них заключается определенность его величины; но именно потому, что они суть эти множители или элементы, они принадлежат к низшему измерению, и, поскольку тут {214} вступает в силу степенная определенность, имеют степень низшую, чем та величина, которой они суть элементы или множители. Арифметически это различие кажется только количественным, различием корня и степени или иной степенной определенности; но если это выражение имеет лишь количественный смысл, напр., а: а 2 или d * а 2 =2 а: а 2 =2: а, или (для закона падения тел) t: at 2, то получается лишь ничего не говорящее отношение 1: a, 2: а, 1: at; в противоположность своему только количественному определению члены должны быть разделены по своему различному качественному значению, напр., s: at 2; и тем самым величина получает значение качества, функции величины некоторого другого качества. Тем самым сознанию предстоит лишь количественная определенность, над которою, смотря по ее виду, можно без труда производить действия, и можно без всякого сомнения множить величину одной линии на величину другой; но умножение этих двух величин дает вместе с тем качественное изменение перехода линий в плоскость; тем самым выступает отрицательное определение; оно-то и причиняет затруднение, которое разрешается через понимание его особенности и простой сути дела, введение же бесконечных, которыми оно должно бы было быть устранено, приводит, напротив, к запутанности и оставляет его совершенно неразрешенным.