VI (p. 118)
Ad quæstionem XVII Libri III.
Invenire tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione, adsumpta eorumdem summa, quadratum faciat.
Exstat huius quæstionis Diophanti problema[2] in libro quinto quæstione quinto, Num vero problema sequens ipse Diophantus sciens prætermisit, an potius in aliquo tredecim librorum constructum erat, nescimus.
Invenire 3. quadratos ut productus ex binorum multiplicatione adsumptâ eorumdem summa quadratum faciat. Huius tamen quæstionis infinitas solutiones dare possumus.
En, verbi gratia sequentem solutionem; satisfaciunt nempe problemati tres quadrati sequentes.
3504384 / 203401 1. quadratus.
2019241 / 203401 2. quadratus.
4 3. quadratus.
Imo et ulterius progredi et Diophantæam quæstionem promovere nihil vetat. Sequens enim problema generaliter et infinitis modis construximus.
Invenire 4 numeros sub quibus binis quod fit planum adscitâ amborum summâ, faciat quadratum.
Inveniantur, per 5. propositionem libr. 5. tres quadrati ut quem bini faciunt planum adsciscens amborum summam faciat quadratum et sunto illi numeri quadrati;
25 / 9 64 / 9 196 / 9
Sunt ergo tres isti quadrati, tres primi numeri nostræ quæstionis, ponatur quartus 1N. fient tria producta una cum summis æqualia.
34 / 9 N + 25 / 9 primum.
73 / 9 N + 64 / 9 secundum.
205 / 9 N + 196 / 9 tertium.
Hæc igitur tria æquanda quadrato, et oritur triplicata æqualitas, cuius explicationem dedimus ad quæstionem 24. libri sexti.
Перевод:
У Диофанта имеется другая задача, V 5, посвященная тому же вопросу. Но неизвестно, опустил ли он, хотя и знал ее, следующую задачу или, что более вероятно, дал ее решение в одной из своих тринадцати книг.
Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, было бы квадратом.
Мы можем дать бесконечно много решений этого вопроса. Вот, например, одно из них: три квадрата удовлетворяют предложенному условию
3504384 / 203401, 2019241 / 203401, 4
Но можно пойти дальше и распространить вопрос Диофанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и можем дать бесконечное число ее решений:
Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же чисел, давало квадрат.
Сначала найдем, согласно V 5, такие три квадрата, что произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три квадрата, найденные Диофантом:
25 / 9, 64 / 9, 196 / 9.
Возьмем эти три квадрата в качестве трех первых чисел нашей задачи; пусть x будет четвертым; образуя его произведения с каждым из предыдущих и прибавляя сумму обоих множителей, получим
34 / 9 x + 25 / 9 = □, 73 / 9 x + 64 / 9 = □, 205 / 9 x + 196 / 9 = □.
Возникает тройное равенство, которое мы разобрали в примечании к задаче VI 24[в нашем издании V 22 — И. Б. ].