præcipuè ad locum illum, Adverte tertio etc.
VII (p. 127–128)
Ad commentarium (in quæstionem XXII Libri III), præcipuè ad locum illum: Adverte tertio etc.[3]
Numerus primus qui superat unitate quaternarij multiplicem semel tantùm est hypotenusa trianguli rectanguli, eius quadratus bis, cubus 3. quadratoquadratus 4 etc. in infinitum.
Idem numerus primus et ipsius quadratus componuntur semel ex duobus quadratis: eius cubus et quadratoquadratus, bis: quadratocubus et cubocubus ter etc. in infinitum.
Si numerus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in alium primum etiam ex duobus compositum quadratis, productum componetur bis ex duobus quadratis: si ducatur in quadratum eiusdem primi: productum componetur ter ex duobus quadratis: si ducatur in cubum eiusdem primi productum componetur quater ex duobus quadratis, et sic in infinitum.
Hinc facile est determinare quoties numerus datus sit hypotenusa trianguli rectanguli, sumantur omnes primi, quaternarij multiplicem unitate superantes qui datum numerum metiuntur v. g. [verbi gratia] 5. 13. 17. Quod si potestates dictorum primorum metiantur datum numerum, Disponantur una cum reliquis loco laterum v. g. [verbi gratia] metiantur datum numerum 5. per cubum, 13. per quadratum et 17. per latus simpliciter.
Sumantur exponentes omnium divisorum Nempe numeri 5. exponens est 3. propter cubum, numeri 13. exponens est 2. propter quadratum et numeri 17. unitas tantum: ordinentur igitur ut volueris dicti omnes exponentes ut si velis. 3. 2. 1. ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam primi et secundi fit 17. ducatur iam 17. in tertium bis et producto adijciendo summam 17 et tertij, fit 52. datus igitur numerus erit hypotenusa 52. triangulorum rectangulorum, nec est dissimilis in quotcumque divisoribus et ipsorum potestatibus methodus.
Reliqui numeri primi qui quaternarij multiplicem unitate non superant nihil aut addunt quæstioni aut detrahunt neque ipsorum potestates.
Invenire numerum qui quoties quis velit sit hypotenusa: quæratur numerus qui sit septies hypotenusa, numerus 7. datus dupletur fit 14. adijce unitatem fit 15. sume omnes primos qui mensurant 15. sunt hi 3. et 5. Ab unoquoque demptâ unitate sume reliqui dimidium, fiunt 1. 2. quærantur tot primi diversi quot hic sunt numeri nempe duo et secundum exponentes 1 et 2 inter se multiplicentur nempe unus in quadratum alterius, in hoc casu satisfiet quæstioni modò primi quos sumis superent quaternarium[4] unitate, ex his constat facilè posse inveniri numerum minimum qui quoties quis velit sit hypotenusa.
Invenire numerum qui quoties quis velit componatur ex duobus quadratis: sit datus numerus 10. eius duplumn 20. cuius omnes partes primæ sumantur. 2. 2. 5. ab unaquaque tolle unitatem fiunt 1. 1. 4. sumantur igitur 3. numeri primi, (qui nempe unitate superent quaternarium,[5] ) v. g. [verbi gratia] 5. 13. 17. et quadratoquadratus unius propter exponentem 4. ducatur in reliquos duos. Fiet numerus quæsitus.[6] Ut autem dignoscatur quoties datus numerus ex duobus quadratis componitur. Sit datus numerus 325. numeri primi qui cum componunt (nempe quaternarium[7] unitate superantes) sunt. 5. 13. hic semel, ille per quadratum. Exponentes disponantur 2. 1. productus multiplicatione jingatur summæ, fit 5. cui adiunctâ unitate fit 6. cuius dimidium 3. toties igitur numerus datus componitur ex duobus quadratis, si essent 3. exponentes ut 2. 2. 1. Ita procedendum, productum sub prioribus adiunctum summæ facit 8. ducatur 8. in tertium et iungatur productum summæ fit 17. cui iunge unitatem fit 18. cuius dimidium dat 9. toties iste secundus numerus componetur ex duobus quadratis. Si ultimus numerus bifariam dividendus esset impar, tunc dempta unitate reliqui dimidium sumi debet.
Sed proponatur si placet sequens quæstio. Invenire numerum in integris qui adsumpto dato numero conficiat quadratum, et sit hypotenusa quotlibet triangulorum rectangulorum. Hæc quæstio ardua est, proponatur v. g. [verbi gratia] inveniendus numerus qui sit bis hypotenusa, et adsumpto binario conficiat quadratum. Erit quæsitus numerus 2023. et sunt alij infiniti idem præstantes, ut 3362. etc.
Перевод:
Простое число, которое превосходит на единицу кратное четырех, только один раз является гипотенузой прямоугольного треугольника, его квадрат — два раза, его куб — три раза, его биквадрат — четыре и т. д. до бесконечности.
Это же простое число и его квадрат только одним способом представляются суммой двух квадратов; его куб и его биквадрат — двумя, его квадрато-куб и кубо-куб — четырьмя и т. д. до бесконечности.[8]
Если простое число, представимое суммой двух квадратов, умножается на другое простое, также представимое суммой двух квадратов, то их произведение дважды представимо суммой двух квадратов; если множителем будет квадрат второго простого числа, то произведение будет трижды представимо суммой двух квадратов; если множителем будет куб второго простого числа, то произведение будет представимо суммой двух квадратов четырьмя способами и т. д. до бесконечности.
Из этого легко определить, сколькими способами заданное число представляется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Надо взять все простые числа, превосходящие на единицу кратное четырех, содержащиеся в данном числе, например 5, 13, 17. Если данное число содержит степени этих простых множителей, то надо взять эти степени вместо простых множителей: пусть, например, данное число содержит
5 в кубе, 13 в квадрате и 17 как простую сторону.
Тогда надо взять показатели всех множителей, а именно для числа 5 показатель 3, присущий кубу, для числа 13 показатель 2, присущий квадрату, а для числа 17 просто единицу.
Надо упорядочить как угодно показатели, о которых шла речь, например, пусть порядок таков: 3, 2, 1.
Надо умножить первый на второй, удвоить и прибавить сумму первого и второго, будет 17. Затем умножить 17 на третий показатель, удвоить и сложить с суммой 17 и третьего, будет 52. Тогда данное число будет гипотенузой 52 различных прямоугольных треугольников. Метод останется неизменным, каково бы ни было число множителей и их степени.
Другие простые числа, которые не превосходят кратное четырех на единицу, так же как их степени, ничего не добавляют к искомому числу и ничего от него не убавляют.
Найти число, которое будет гипотенузой столько раз, сколько это желательно.
Пусть надо найти число, которое представлялось бы гипотенузой семью различными способами.
Данное число 7 удваиваем, будет 14. Прибавляем единицу, будет 15. Берем все простые делители 15, будет 3 и 5. Вычитаем из каждого единицу и берем половину остатков, получим 1 и 2. Возьмем теперь столько различных простых множителей, сколько имеется чисел, а именно два, и перемножим между собой эти простые множители, придав им показатели 1 и 2, именно один па квадрат другого; так получим число, удовлетворяющее условию, лишь бы только простые числа на единицу превосходили кратное четырех.
На основании этого легко найти наименьшее число, которое представлялось бы гипотенузой столькими способами, сколько это желательно.
Найти число, которое представлялось бы суммою двух квадратов столькими способами, сколько это желательно.
Пусть предложено 10 способами. Удвоенное его 20, берем все простые множители, получим 2, 2, 5. Вычитаем из каждого по единице, получим 1, 1, 4. Значит, нужно взять три простых числа, каждое из которых превосходит на единицу некоторое кратное четырех, например числа 5, 13, 17; взяв квадрато-квадрат одного из них (из-за показателя 4), умножим на остальные два и получим, таким образом, искомое число.
На основании этого легко найти наименьшее число, которое представимо суммой двух квадратов столько раз, сколько это желательно.
С другой стороны, вот метод, чтобы узнать, сколькими способами заданное число может быть составлено из двух квадратов.
Пусть дано число 325. Его простыми делителями, которые превосходят на единицу кратное четырех, будут 5, 13, последнее — один раз, а первое — в квадрате. Возьмем показатели 2, 1. Сложим их произведение и сумму, это дает 5, прибавим единицу, что дает 6, берем половину 3. Значит, столькими способами данное число составляется из двух квадратов.
Если получатся три показателя, например 2, 2, 1, то процедура будет такова. Произведение двух первых, сложенное с их суммой, даст 8. Умножаем на третий и прибавляем сумму сомножителей, что дает 17. Прибавляем, наконец, единицу, что дает 18, половина которого есть 9. Столькими способами предложенное число будет составляться из двух квадратов.
Если последнее число, от которого нужно взять половину, будет нечетным, то от него следует отнять единицу и взять половину остатка.
Можно еще задаться следующим вопросом: найти целое число, сумма которого с заданным числом будет квадратом и которое, с другой стороны, будет гипотенузой стольких прямоугольных треугольников, сколько это желательно.
Этот вопрос труден. Если, например, требуется найти число, которое будет дважды гипотенузой и при прибавлении 2 дает квадрат, то число 2023 удовлетворяет условию, имеется и бесконечно много других, как 3362 и т. д.