1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять π=3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта; он указан, наряду с другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространен также в Европе).
2. В древней египетской рукописи (в «папирусе Ринда») находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет
диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчета в %%, принимая π=3,14.
3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) прием вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами равными
диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский?
4. Валлис нашел (1656 г.) для вычисления π следующий ряд
и т. д.
Лейбниц вывел (1674) такое равенство:
Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?
5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для π следующее приближенное выражение:
Как помощью этого выражения приближенно решить задачу о квадратуре круга?
6. Проверьте следующее приближенное равенство:
Как воспользоваться этим соотношением для приближенной квадратуры круга?
7. Проверьте приближенное равенство
Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?
8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в
и
диаметра круга, приближенно равен длине окружности этого круга.
Как помощью этого соотношения приближенно решить задачу о квадратуре круга?
9. Голландский инженер Петр Меций нашел (в 1585 г.) для π легко запоминаемое выражение
. Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.
10. Придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.
