1. Если радиус круга R, то площадь его π R 2, а длина окружности 2π R, Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга, имеет сторону длиною
. Площадь такого квадрата равна
Отношение
показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22 %.
2. Из отношения
легко установить, что изложенное в задаче правило дает преувеличение примерно на 0,6 %.
3. Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.
4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть найдены помощью конечного числа математических операций.
5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем гипотенузу длиною в
, т. е.
тех же единиц. Этот отрезок приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это, можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет, например, прямоугольник со сторонами в 1 и
единиц длины.
Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).
6. Сумма
. Зная, что при радиусе, равном единице длины,
есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), a
— сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше.
7. Сумма
. Для построения отрезка в
единиц длины, надо уметь построить отрезок равный
единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее — см. решения предыдущих задач.
8. Так как выражение
равно
, то задача является видоизменением предыдущей.
9. Семь верных цифр.
10. Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно равна ¾ площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины. Легко видеть, что здесь π принимается равным 3,15 — приближение достаточное для многих практических целей.