н.\члльнхя СТАДИЯ РА.звитпя

17

К сожалению, материалы, имеющиеся в нашем распоряжении, не

позволяют достаточно определенно связать различные этапы разви-

тия счёта с данной Энгельсом в работе «Г1роисхожление семьи,

частной собственности и государства» периодизацией доисториче-

ских ступеней культуры.

Ещё и в наше время известны народы, в языке которых имеются

только два числительных: один и два. У многих племен Австралии

и Полинезии в самое недавнее время этим дело и ограничивалось.

При иомощи сочетания названных числительных эти племена обра-

зуют числа два-один, 5 ==два-два-один,

два-два. Так, например, у западных племен островов Торресова

пролива единственными числительными являются 1 — урапун и 2—

окоза. Далее они считают окоза-урапун, 4

окоза-окоза-урапун, Этот способ счёта

положил начало древнейшей из всех систем счисления — двоичной

системе 1). Следы её мы находим неоднократно в египетском спо-

собе умножения и деления, в системе египетских дробей 2), в том,

что во многих языках, например в старославянском, наряду с един-

сгненным и множественным числами имеется и двойственное число 3).

1) Для устной и письменной нумерации двоичная система неудобна, так

как запись чисел в ней с.чишком длинна (например, число 777 в пей запи-

шется 1 100001 001), мо они имеет и существешше преимунества.

На принпипиальные достоинства двоичной системы первый обратил впи-

мание Лейбниц, отмечавший особую простолу зпераций в ней (таблицы сло-

жепия и умножения сводятся к -4- 1 10,

1; при делении не нужны

догадки и пробы). Лейбниц не рекомендовал эту систему взамен десятичной

„д,чя практического счёта, но подчёркивал, что «вычис„чение с помощью двоек,

т. е. О и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и

порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии,

даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то об-

стояте.чьство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1,

всюду выявляется чудесный порядок» (в Explication de l'arithmdtique binaire,

qui se sert des seu1s caractbres 0 et 1, ауес dcs remarques sur son utilite, 1703

в Leibnizens rnathematische Schriften, hsg. у. С. 1. Gerhardt, т. Vll, Нане,

1863, стр. 225; ср. там же письма Лейбница к [Пуленбургу от 1698 г.). Дей-

ствительпо, двоичная система оказалась весьма удобной в ряде теоретиче-

ских исследований.

Лейбниц, однако, не предвидел, что двоичная система принесёт пользу

в вычислительной математике, — именно будет положена в основу устройства

электронных счётных машџн, как это произошло в последнее время. Произ-

водство вычислений па таких машинах • с избытком компенсирует затрату

труда на переход от десятичной системы к двчичпой в начале операций и

обратный переход в окончательном результате. См. Л. Д. Кудря в це в,

О принципах производства арифметических операций на вычислительных

машинах. Успехи математических наук, т. У, вып. З (1950).

У) См. в параграфе, посвящённом дробям, о роли половинного ряда

в старинных русских дробях.

3) В некоторых языках существовало и тройственное число как пере-

житок троичной системы. На особую древность первых трёх числительных

указывает и то обстоятельство, что во многих языках они в отличие от

остальных числительных изменяются по родам (один, одна, одно; два, дне;

лат. tres, tria).

2 Энциклопедия, кн. 1.