— 125 —

члены данной арифметической прогресёии, п — число этих.

_уенов и S —искомая сумма их. Напишем так же, как и:

раньше:

Отсюда

А так как выражения, стоящие в скобках, равны междуг

собой 1), тр имеем:

2

Эту формулу нам и надо было вывести.

Попробуем теперь найти сумму п первых нечетных чи—

сел; числа эти образуют, очевидно, арифметическую прогрес-

сию, разность которой равна 2; поэтому имеем:

Так как в данном случае а— 1 и то

п(2п— 1 + 1)

Результат этот очень интересен своей простотой. Полу—

чить его можно и несколько иначе, если произвести сле-

дующее геометрическое построение (фиг. 1).

Проведем две взаимно перпендикулярные прямые 0r и

Оу, отложим на каждой из них равные между собою отрезки:

а затем очертим непрерывной линией квадраты ОАВС,

ODEF, 0GHk, OLMN, 0PQR и пунктирной линией все те

малые квадраты, на которые распадаются указанные боль-

шие квадраты. Число малых квадратов, содержащихся

1) Равенство этих выражений можнр считать очевидным, так как при

переходе от одного выражения, стоящего в скобках, к следующему выра—

жению, один из членов этого выражения увеличивается на т, а другой

уменьшается на то же число (например, Ь = а +т, l—r), так что

сумма обоих членов остается постоянной.

Примеч. автора.