ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

269

важнейшие результаты вполне элементарными арифметическими при-

емами, неа прибегая к средствам высшей математики.

Вслед за работами Чебышева появилось исследование немецкого

математика Римана, указавшего на совершенно новый, сложный

аналитический подход к задаче распределения простых чисел. Сам

Риман не получил своим методом ни одного арифметического ре-

зультата. Однако значительно позже, уже в самом конце XIX сто-

летия, метод Римана в связи с развившейся к тому временн теорией

функциии комплексной переменноа—обнаружил замечательную мощ-

ность. В частности, в 1894 г. французскому учёному Адамару удалось,

наконец, достигнуть давно преследуемой цели — доказать соотно-

шение (4), показывающее, что функция

действительно служит

асимптотическим выражением для числовой функции

Дальнейшие усилия вплоть до настоящего времени были направ-

лены на уточнение этого результата, т. е. на возможно более точ-

ную оценку разности

—1,

которая согласно теореме Адамара бесконечно мала при

Выдающиеся результаты в этом направлении получены в последние

годы советской школой теории чисел, руководимой акад. И- М. Вино-

градовым, одним из величайших творцов арифметической науки

нашей эпохи.

Другая линия развития теории простых чисел, также идущая от

теоремы Евклида о бесконечности множества простых чисел, стре-

мится установить существование бесконечного множества простых

чисел в той или иной части натурального ряда, т. е- среди нату-

ральных чисел того или иного определенного вида- Классическим

результатом в этом направлении является теорема Дирихле о суще-

ствовании бесконечного множества простых чисел в любой арифме-

тической прогрессии, первый член и разность которой взаимно

просты. Однако до сих пор наука не смогла продвинуться сущест-

венно дальше этого результата (для которого, кстати сказать, мы

до сих пор не имеем вполне элементарного доказательства). Теорема

Дирихле утверждает, что если числа а и Ь взаимно просты, то суще-

ствует бесчисленное множество простых чисел вида ax—l-b (где х—

целое число). Следующим естественным шагом было бы исследование

в том же смысле выражений второй степени, т. е. выражений вида

с. Однако в этом направлении ничего сделать не удалось.

Современная наука не знает никакого подхода даже к простейшему

частному случаю этой задачи— к вопросу о том, существует ли

бесчисленное множество простых чисел среди чисел вида x2—b- 1,

т. е. в ряду чисел 2, 5, 10, 17, 26, 37,

Наконец, особый и очень интенсивно культивируемый круг во-

просов теории простых чисел составляют задачи, группирующиеся