286

ЭЛЕ.МЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

результат может быть формулирован в виде следующего простого

предложения:

Тео ре ма 5. Пусть в сравнении (7) (а, Тогда это

сравнение имеет d решений, если Ь Делится на d, и ни одного

решения в противном случае.

При этом рассмотренный нами ранее случай полностью

укладывается в эту общую формулировку, не требуя никаких ого-

ворок.

Очевидно, мы можем формулировать полученный общий резуль-

тат и в терминах уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Пусть в уравнении

ах — ту

(а, т) Тогда, если Ь делится на d, то Данное уравнение

имеет бесчисленное лноэюество целых решений, причём если

(Хо, уо) есть одно решение, то все решения содержатся в формулах

Если же Ь не Делится на d, то Данное уравнение вовсе не имеет

целых решений.

Переходя теперь к алгебраическим сравнениям высиних степеней,

мы ограничимся рассмотрением лишь сравнений по простому мо-

дулю р, так как только для них аналогия с уравнениями может

быть проведена сколько-нибудь далеко. Таким образом, мы будем

иметь дело со сравнениями вида

Р (х) ао.хп-4- 01-vn-1 -1— ад_1Х —1— ап (mod р),

(11)

где р— простое число и ао не делится на р.

Прежде всего мы докажем для таких сравнений предложение,

аналогичное так называемой «теореме Безу» для алгебраических

уравнений.

Тео рема 6. Если х-ЕЕ--а (modp) есть решение сравнения (11),

то существует гпшсой многочлен Q(x) степени п— 1 с целыми.

коэффициентами, что тождественно (т. е. для любого целого х)

Р (х) = (х— а) Q (х) (mod р).

(12)

Доказательство этой теоремы легко проводится в точной ана-

логии с обычным доказательством теоремы Безу. Обычное алге-

браическое деление многочлена Р (х) на двучлен х— а дает

в частном некоторый многочлен Q(x) степени п— 1 с целыми

коэффициентами и в остатке некоторое целое число т, так что

тождественно