284

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

и мы непос.редственно видим, что число ba? удовлетворяет

сравнению (7); так как единственность решения уже установлена,

то полное решение сравнения (7) даётся формулой

Х—Ьа9 (т)-1 (mod т).

(8)

Очевидно, рассматриваемый нами частный случай всегда имеет

место, если т есть простое число. В самом деле, число а, которое

по самому определению степени сравнения не должно делиться на т,

будет при этом условии взаимно просто с т; таким образом, сра-

внение первой степени по простому модулю всегда имеет в тод-

нос,чш одно решение, даваемое в силу теоремы Ферма формулой

х Ьат-2 (mod т)

(9)

[надо только иметь в виду, что практически отыскание решений

с помощью формул (8) или (9) в большинстве случаев не является

кратчайшим путём к цели; кратчайший путь дается алгориф-

мом Евклида, см. главу III]. Мы видим, что и в этом вопросе сра-

внения по простому модулю подчиняются законам, вполне анало-

гичным соответствующим законам теории уравнений.

Решениями сравнения (7) служат числа Х, для которых раз-

ность ах—Ь делится на т, т. е. имеет вид ту, где у— также

целое число. Поэтому задача решения сравнения (7) равносильна

задаче решения в целых числах Х, у уравнения

ах — Ь ту,

или, что то же,

ах — ту Ь.

(10)

Это есть общий вид уравнения первой степени с двумя неизвест-

ными. Мы видим, таким образом, что все результаты теории сра-

внений первой степени с одним неизвестным могут быть истолко-

ваны и вне теории сравнений как законы «неопределённого» или

«диофантова» анализа (т. е. учения о решении уравнений в целых

числах) первой степени с двумя неизвестными. В частности, основ-

ной полученный нами результат может, очевидно, быть сформули-

рован следующим образом:

Если числа а и т взаимно просты, то уравнение (10) всегда

жо:усет быть решено в целых числах; если (Хо, уп) есть одно из

его решений, то все решения Даются формулами

где /е — любое целое число.

В частности, при задача решения уравнения (10) (при

взаимно простых а и т) уже рассматривалась нами в главе 1.

Там мы доказали (теорема 1) существование решения методом

Гаусса. Теперь мы имеем второе доказательство той же тео-