ГЛАВА Н

МЕТОД СРАВНЕНИЙ

S 4. Введение

Особая трудность, которою во все времена были отмечены задачи

теории чисел, заставляла исследователей искать всё новых и новых

методов в этой ветви математической науки. И в настоящее время

мы имеем в теории чисел такое методологическое многообразие,

как, пожалуй, ни в одной другой математической дисциплине. Харак-

терной чертой для всех этих методов является сравнительная огра-

ниченность их приложений; каждый такой метод, как правило, может

быть применен к решению лишь более или менее узкого круга

родственных между собою задач; как только мы выходим за пре-

делы такого круга, приходится искать новых, подчас весьма инород-

ных методов.

Различные методологические приёмы теории чисел можно разде-

лять по их щ)едметной природе: мы имеем ряд элементарных мето-

дов (метод эратосфенова решета, метод алгорифма Евклида и ряд

других); но наряду с ними мы имеем и несколько мощных анали-

тических методов; всё более и более возрастает, наконец, значение

методов геометрических, ведущих свое начало от исследований

Минковского. С другой стороны, методы эти могут быть различаемы

и в другом отношении. В одних из них объединяющим нача.чом

служит та или иная предметно-содержательная идея (таков, напри-

мер, метод «геоме грии чисел» Минковского), в основе же других

лежит некоторый формальный приём; встречаются, разумеется, и

смешанные методологические типы.

Среди формальных элементарно-арифметических методов особое

значение приобрёл так называемый метод сра вн ени И, созданный

Гауссом. На этот метод надо смотреть, как на некий формаль-

ный аппарат, не заключающий в себе большого идейного содер-

жания, но представляющий значительную техническую ценность;

овладение им позволяет в большом числе случаев со сравнительной

лёгкостью получать такие результаты, к которым другие пути обре-

менительно длинны. Вместе с тем простейшие основы теории

о)