268

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

чисел, не превосходящих п) хорошее приближённое выражение

в виде какой-нибудь простой аналитической функции от п, иссле-

довать рост которой не представляло бы никаких затруднений.

Представлялась, например, очень заманчивой мысль найти для функ-

ции с (п) «асимптотическое» аналитическое выражение, т. е. такую

аналитическую функцию (п), чтобы

(иначе говоря, чтобы т (п) и (п) были «эквивалентными» бесконечно

большими). Однако наука той эпохи не располагала ещё необходи-

мыми средствами для решения этой важной задачи. Изучение таблиц

показывало, что среди элементарных функций имеется одна очень

дающая (в пределах таблиц) при больших п

простая, именно

хорошее приближение для т (п), и многие крупнейшие учёные того

времени (Лежандр, Гаусс) настойчиво пытались теоретически обос-

новать эту лишь эмпирически подмеченную близость. Задача ока-

залась, однако, непомерно трудной, и ни одного результата в этом

направлении не удалось получить вплоть до середины XIX столетия,

когда замечательные исследования нашего великого учёного П. Л. Че-

бышева сдвинули, наконец, вопрос с мёртвой точки.

Маячившей перед всеми исследователями целью было, как уже

сказано, доказательство соотношения

(4)

111 п

На пути к этой цели, которая в ту эпоху ещё не могла быть

достигнута, Чебышев впервые док азал несколько важных фактов,

среди которых отметим два следующих:

1. Если предел

т; (п) 1n п

1im

существует, то этот предел равен единице.

2. Для всех достаточно больших п

<21n2.

Значительность этих замечательных достижений, уже довольно

близко подводящих нас к окончательной цели (4), в особенности

подчёркивается двумя обстоятельствами: во-первых, тем, что до

Ч?бышева в этом направлении не удавалось доказать ровно ничего,

так что наш великий математик не имел предшественников и все

идеи и методы доказательств должен был создавать совершенно

заново; во-вторых, замечательно то, что Чебышев получил свои