266

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

при любом содержит столько же чисел, не делящихся ни на

, рп, сколько их имеется в ряду

одно из простых чисел Р2' • • •

Если теперь задано сколь угодно малое положительное число Е,

то, прежде всего, выберем число п так, чтобы было:

е,

что возможно в силу доказанной нами леммы. Если теперь q— любое

натуральное число, то пусть оно при делении на Рп даёт в частном

s и в остатке т, так что

Оценим число (q) простых чисел в отрезке (1, q). В число этих

простых чисел могут, прежде всего, входить п чисел р: , Р2, р п

Все остальные простые числа отрезка (1, •q) не делятся ни на одно

р а потому число их в отрезке (1, ч) не пре-

из чисел П, Р2, ..., п,

восходит числа тех чисел этого отрезка, которые не делятся ни на

одно из чисел р: , Р2, рп. Но таких чисел, как мы уже знаем,

имеется в точности П в каждом из отрезков (1, Рп),

( рп+ 2Рп), 1, Д.,

((s— sPn), т. е. в точ-

ности в отрезке (1, sPn); наконец, в отрезке (1, q)

sPn-l-r) их не более чем

sQn -4- sPnlIn -4- рп.

Таким образом,

(q) п 4- spnlTn + р п,

откуда

п+8РпПп+Рл

Если теперь число q (а следовательно, и s) сделать достаточно

большим (сохраняя п неизменным), то первое слагаемое правой части

может быть сделано меньшим, нежели е; а так как Пп<е по выбору

числа п, то

для всех достаточно больших q, т. е.

Iim

и теорема Эйлера доказана.

Этот замечательный результат говорит о том, что простые числа

расположены в натуральном ряду в известном смысле «редко» —

реже, например, чем члены любой арифметической прогрессии (с как

угодно большой разностью). Однако это — только в среднем. У нас