250

понятия МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ,

КОЛЬЦА И ПОЛЯ

элементов 1, i, х, находим:

откуда в силу линейной независимости-

p—r==O, т.

Тогда из (7) следует:

lXl -1- 2t,

(8)

(q —1-2) — действительное число. Положим теперь х,

где t

-A—ti; элементы 1, й, х, линейно независимы, так как иначе

элементы 1, г, х1 были бы линейно зависимы. Из (8) следует:

Число —

1 — отрицательное действительное число, так как если

[2— | то е— 1 с действительным и. Из перестановоч-

ности х, и и находим:

т. е. и— действительное число, что противоречит ли-

нейной независимости элементов

Положим х: с2,

где с— действительное число и пусть

с

i, ] линейно независимы, ибо

1,

Тогда и элементы

1, i, х, линейно независимы.

Далее, в силу

1

откуда

(8)

1

с (Xl+ti)-I-

(iX1 + -1- 4- ti9)

Положим и покажем, что К нельзя

(9)

выразить линейно

через 1, i, ј. Если bi-[-cj с действительными а, Ь, с, то,

умножая это равенство слева на i, получим:

ik i (ij) —

откуда

и в силу линейной независимости элементов 1, 1, ј должно быть

1, что невозможно, так как с— число действи-

тельное. Рассуждая, как выше (для 1, Ё, х1) докажем, что элементы

1, i, ј, К независимы. Таким образом, ранг алгебры R не

меньше четырёх.