242

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Оп редел е ние 1. Множество R называется п-лерныж век-

ТОРНЫМ пространством над Данным полел Р, если в R опреде-

лена операция сложения, относительно которой R является

коммутативной группой (5 6, определение 2), и если, кроле того,

определено умножение элементов из R на элементы поля Р,

обладающее следующими свойствами:

1) Произведение ах любого элемента а из Р на любой эле-

лент х из R есть некоторый элемент из R.

2) для любых а из Р и х, у из R.

З) (0-4- bx для любых а, Ь из Р и х из R.

4) a(bx) для любых а, Ь из Р и х из R.

е (базис R ) таких,

5) В R существует п элементов Ч, .

что любоп элемент х из R однозноцно представляется в виде

а — элементы поля Р, называемые компонентами

еде ав, , п

вектора х.

Отсюда легко следует, что сложение двух векторов сводится

к сложению их компонент и умножение вектора на элемент поля Р—

к умножению компонент на данный элемент. Поэтому п-мерное

векторное пространство над полем Р можно также определить,

ап) ИЗ П

как совокупность всех упорядоченных систем (а], ая, ... ,

элементов поля Р с указанными выше сложением и умножением

на элементы из Р.

О п р ед ел е ние 2. п-лерное векторное пространство R над

полел Р называется алгеброй (или гиперкомплексной системой)

ранга п над полеж Р, если в R, кроле сложения, определена

операция умножения, прицёя этих двух операций R

является кольцоя (не обязательно коммутативным) н умножение

в R связано с умножением его элементов на элементы из поля

Р следующил условием;

6)

(ах) у х (ау) а (ху)

для любых а из Р и х, у из R.

Если при этом кольцо R является телом, то R называется

алгеброй с Делением.

Из 6) следует:

(ах) (Ьу) (ab) (ху)

для любых а, Ь из Р и х, у из R.

(1)

Отсюда в силу законов дистрибутивности Vl' следует, что про-

изведения любых элементов из R вполне определяются произведе-

ния.ми базисных элементов, так как если

ахеј, 2 Ьјеј,