ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

247

мент iz=ax+b обладает свойством 1. (Заметим для даль-

нейшего, что при этом мы не пользуемся коммутативностью ал-

гебры R.) Согласно замечанию элемент х является корнем

многочлена f(z) с действительными коэффициентами, не все из

которых равнВ1 нулю. Но известно, что любой такой многочлен

разлагается на множители первой или второй степени с действи-

тельными коэффициентами 1). Пусть

такое разложение. Тогда, согласно замечанию 2,

Но и по замечанию 4 алгебра R не имеет делителей

нуля. Поэтому Л для некоторого К К. Если х— корень

многочлена г— с первой степени, то х—с==О, х==с, т. е. х при-

надлежит полю D, что противоречит условию. Таким образом,

х есть корень многочлена второй степени, т. е.

ибо иначе х

где р и числа, причем

был бы корнем многочлена первой степени. Полагая

4

с действительным t, получим:

откуда, деля на t9, находим:

Полагая а—

получим элемент Ь, для кото-

рого 1, что и нужно.

б) Пусть R — коммутативная алгебра с делением над полем

действительных чисел D, содержащая D. Если R # D, то по до-

по-

казанному в R существует элемент такой, что

этому элемент не входит в D и элементы 1, линейно незави-

симы. Пусть Ro— множество всех элементов х алгебры R вида

с любыми действительными а и Ь. Очевидно, что Ro—

алгебра ранга 2 над полем D — изоморфна полю комплексных

чисел R.

Покажем, что R 0 Полагая, Ь в равенстве

получим: Следовательно, R п содержит поле действительных

1) См. Э. 9. м., кн. 2, Л. Я. О ку пе в, Кольцо многочленов и поле рацио-

нальных фупкций, гл. 1, S 6.