полв КОМПЛНКСНЫХ ЧИСЕЛ

называется сопряжённым кватерниону

245

Пользуясь таблицей умножения (6), законом дистрибутивности

и соотношением (1), легко проверить, что

Число

N(q) +

называется нормой кватерниона cj-]-dk. Очевидно,

что N(q)==N(Q) и N(q) причём если q * 0. Так

как

для любого q 0, то любой кватернион q * 0 обладает обратным

элементом

Отсюда уже следует (см. S 6), что множество всех кватернио-

нов, отличных от нуля, образует группу относительно операции

умножения. Поэтому кольцо Q является телом, т. е. алгеброй с де-

лением над полем действительных чисел D.

Для ознакомления с другими свойствами кватернионов, в частно-

сти с их геометрическим представлением, отсылаем читателя

к книге Э. Чезаро стр. 393—412.

Мы рассмотрели три алгебры с делением над полем действи-

тельных чисел, а именно ранга 1, 2 и 4. Справедлива замечатель-

ная теорема о том, что других алгебр такого типа не существует.

Точнее любая алгебра с делением над полем действительных чисел

изоморфна одной из этих трех алгебр.

Чтобы доказать это, сделаем несколько замечаний, касающихся

алгебры над любым полем Р. Если читателя затрудняет рассмотре-

ние любого поля, то он может ограничиться нужным для дальней-

шего случаем поля действительных чисел.

За м е чан ие 1. Любой элемент х алгебры R над полем Р

является корнел некоторого многочлена с коэффициентами из

поля Р, не все из которых равны нулю.

В самом деле, если п— ранг R, то любые пф 1 элементов

х, , ... , из R линейно зависимы. В частности, элементы

линейно зависимы, т. е. 01х-4- авх2 4-

где ая, не все равны нулю. Это

значит, что элемент х является корнем многочлена ар А- 02224- .

—[-an+l с коэффициентами из Р.