ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

249

действительных чисел D изоморфна полю комплексных чисел К.

Теорема доказана.

Если отказаться от коммутативности умножения, то возможна

еще одна алгебра с деленнем над полем D — алгебра кватернионов,

а именно:

Теорема 2. . (Теорема Фробениуса.) Любая алгебра

с Делением R над полеж Действительных чисел D изоморфна

полю Действительных чисел D, либо полю комплексных чисел К,

либо телу кватернионов Q и имеет ранг 1, 2 или 4.

До каза т ель с тв о. Пусть R — любая алгебра с делением

ранга п над полем действительных чисел D, содержащая D. По

теореме 1, если п 1, то R изоморфна полю действительных

чисел D, а если п 2, — полю комплексных чисел К. Пусть R

имеет ранг п Тогда R D. По доказанному в пункте а) в R

существует элемент i, для которого

Как в пункте г), докажем, что элембнты 1, линейно незави-

симы. Так как ранг R больше двух, то в R существует элемент х,

который нельзя представить в виде a-]-bi с действительными

а и Ь. По доказанному в пункте а) существуют действительные

числа а' и b', где а' 0, такие, что элемент хт обла-

дает свойством х: 1. Элемент х, нельзя представить в виде

а-]гЬј с действительными а и Ь, так как иначе и элемент

1

а'

а'

также представлялся бы в указанном виде. Поэтому элементы

1, i, хя линейно независимы. В самом деле, если

с действительными щ, щ, аз, то (ибо иначе х, линейно

i тогда

выражался бы через 1, i), а по линейной независимости 1,

— а2 Рассуждая, как в пункте а), находим, что эле-

также —

менты и i—xt являются корнями квадратных уравнений

с действительными коэффициентами, откуда

(i — х1)2 r(i — хт) 4- s.

Поэтому

2 —1— ix•1 _l— р ( I

(7)

— 2 — iXI — —

где р, q, т, числа.

Складывая эти равенства, получаем: