ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ. числА

265

натуральное мисло, не имеющее других простых делителей, кроме

. , рп,• и, в частности, любое натуральное число, не пре-

восходящее рп. Таким образом, если 1 < т < рп, то дробь

обязательно найдётся среди слагаемых правой части полученного

равенства. Поэтому

iin¯

Но ряд

— («гармонический» ряд), как известно, расходится 1).

Поэтому, сколь

бы мало ни было положительное число Е, если п

(а следовательно,

и рп) достаточно велико, мы будем иметь:

и следовательно,

в силу предыдущего неравенства

откуда

Пп<е.

Это неравенство

выполняется, таким образом, для всех достаточно

больших п, что ввиду произвольной малости числа е и доказывает

лемму.

Переходя теперь к дока.зательству теоремы Эйлера, мы обозна-

чим через Рп произведение ...

рв первых п простых чисел.

Для нашей цели важно знать число Qn чисел ряда

не делящихся ни на одно из простых чисел Р], П,

..., рп.

вается, что

(3)

Оказы-

Подробный вывод этой формулы читатель найдет в главе П (стр. 282).

Пусть теперь s и т— любые натуральные числа. Тогда, очевидно,

для того

обладало

1) см.

чтобы число sPn-l-r делилось на какое-либо из чисел

, рп, необходимо и достаточно, чтобы такою делимостью

число т. Поэтому ряд чисел

spn-.l—1, spn-l-2, „

предыдущее подстрочпое примечание.