240

понятия МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

В самом деле, равенство (7) содержится в теореме 2. Если же

не использовать тригонометрическую форму чисел, а принять за

определение модуля равенство (6), то (7) можно доказать так:

(ху) (ху) = УГуљ- х . у l.

Для доказательства (8) сначала докажем равенство

(9)

Пусть -1- bi. Тогда

Va2

=lal,

—1 .-l-2a

откуда 1 -}-l zl, т- е. (9) доказано.

Теперь докажем (8). Для х неравенство (8), очевидно, вы-

полнено. Если х О, то

—lxl-1- х-1 1,

что и требовалось доказать.

Определения предела последовательности, фундаментальной по-

следовательности и полноты поля (S 24, определения 3—5) исполь-

зуют лишь понятия абсолютной величины элементов, а доказатель-

ства свойств этих понятий (S 24, теоремы 1—3) используют лишь

свойства абсолютной величины, доказанные в теореме 8 из S 9, т. е.

lal>0 для а

1 ab

Равенства (7) и (8) показывают, что модуль комплексного

числа г обладает аналогичными свойствами. Поэтому в поле ком-

плексных чисел имеют смысл понятие предела последовательности

и друтие вышеуказанные понятия и сохраняют силу многие из

свойств этих понятий. Точно так же основные понятия и теоремы

математического анализа сохраняют силу при переходе от поля

действительных к полю комплексных чисел. Их рассмотрение со-

ставляет обширную и стройную теорию, называемую теорией функ-

ций комплексного переменного 1).

1) См. Э. э. м., кн. З, В. Л. Гои ча ров, Элементарные функции в ком-

плексиой области.