ПОЛВ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

S 30. Гиперкомплексные числа, кватернионы

241

В этом параграфе нам придётся пользоваться понятиями вектор-

ного пространства и основными его свойствами, а также свойствами

многочленов с комплексными пли действительными коэффициентами.

Нужные свойства мы будем точно формулировать, но за их дока-

зательствами отсылаем читателя ко второй книге «Энциклопедии» 1).

Любое комплексное число представляется в виде

• 1 -l—bi

(S 28, теорема 1), т. е. линейно выражается через два числа 1 и

i с действительными коэффициентами а и Ь. После того как ком-

плексные числа получили всеобщее признание в науке, естественно

возник вопрос, нельзя ли построить числа, более общие, чем ком-

плексные, которые линейно выражались бы через данные п из них

с действительными коэффициентами. В середине XlX столетия

английским математиком Гамильтоном были построены такие числа

для п 4, названные им кватернионами. Однако для этого при-

шлось отказаться от коммутативности умножения. Позднее было

доказано, что это не случайно: поле действительных чисел (при

п 1) и поле комплексных чисел (при оказались единствен-

ными полями такого рода.

Имея в виду кватернионы и более общие системы, играющие

в современной алгебре важную роль, мы в настоящем параграфе

будем понимать под кольцом более общее образование, чем до

сих пор. Именно, мы откажемся от коммутативности умножения

(5 7, свойства 1, lV). Тогда вместо одного закона дистрибутивно-

сти (S 7, VI) надо требовать выполнения двух условий:

Соответствующее обобщение дается понятию поля. Здесь вместо

одного закона обратимости (5 8, свойства 1, VlI) требуется:

VlI'. Для любых а и Ь, где а О, уравнения

пяеют решения.

В отличие от колец здесь принято изменение терминологии.

Множество Р с операциями сложения и умножения, обладающими

свойствами 1— III, V из S 7, VI' и VII' и содержащее более одного

элемента, называется телом.

Элементы тела, отличные от нуля, образуют группу (вообще

говоря, некоммутативную). Поэтому, как и в случаях поля, тело

обладает единицей, а всякий его элемент, отличный от нуля, —

обратным элементом.

1) См. Э. э. м., кн. 2, А. И. У з ко в, Векторные пространства и линейные

преобразования.

16 Энциклопедия, кн. 1.