полв комплвксных чисвл

Покажем, что элементы i, К обладают

ния (6). Мы уже имеем: и

251

таблицей умноже-

Далее, в силу (9):

Таким образом, все соотношения (6) выполнены. Как было от-

мечено в конце замечания З, число 1 является единицей алгебры

Поэтому совокупность Q всех элементов х из R, имеющих вид

с действительными а, Ь, с, d является телом

кватернионов. Покажем, что R В противном случае в R су-

ществует элементу, не принадлежащий Q. По доказанному в пункте а)

существуют действительные числа а и Ь, где а 0, такие, что

элемент обладает свойством 1, элемент I лежит

— лежал бы в Q. Рассуждая, как

вне Q, так как иначе у

а

при выводе (8), найдём:

il-f- li jl4• Ы 4-

где а, Ь, с— действительные числа. Отсюда находим:

— I (Ь —јђ ај bi 4- ај — bi -1- с

ај

2lh с — bi -l- а].

Умножая это равенство справа на К, получим:

т. е. элемент I принадлежит Q, что невозможно, следовательно,

R Итак, либо R==D, либо R либо Согласно

замечанию 3 любая алгебра с делением над полем действительных

чисел D изоморфна алгебре R (также с делением), содержащей D,

т. е. изоморфна либо полю действительных чисел D, либо полю

комплексных чисел К, либо телу кватернионов. Теорема доказана.

Заменяя в примерах 1—3 поле действительных чисел D полем

рациональных чисел Г получим ещё три алгебры с делением, но

уже над полем Г, именно: само поле рациональных чисел Г,

поле комплексных чисел вида с рациональными а и Ь (так

называемое числовое поле Гаусса) и тело рациональных кватер-

нионов, т. е. кватернионов вида с рациональными

Заметим, что, заменяя в тех же примерах 1—3 поле действи-

тельных чисел D на поле компдексных чисел К, мы в примере