ДЕЛИМ ТЬ И ПРОСТЫЕ числК
267
нет никаких оснований представлять себе дело так, будто где-то
там, очень далеко в натуральном ряду, каждое простое число стоит
в одиночестве, не имея близких соседей ни в ту, ни в другую сто-
рону. Напротив, изучение таблиц показывает, повидимому, что мы
от времени до времени всё вновь и вновь встречаем в натуральном
ряду очень близких простых соседей, даже так называемых «близ-
нецов», отстоящих друг от друга всего на две единицы, как (5, 7),
(41, 43), (101, 103) и т. д. Правда, вопрос о том, существует ли
бесчисленное множество таких «близнецов», в настоящее время нау-
кой ещё не решен; у нас, однако, нет никаких основании считать
такое существование невозможным.
Сделаем ещё следующее интересное замечание. Та лемма, кото-
рую мы доказали выше, привела нас к теореме Эйлера, говорящей
о сравнительной «редкости» расположения простых чисел в нату-
ральном ряду. Но та же самая лемма даёт возможность установить
(и притом гораздо более простым путём), что простые числа распо-
ложены в натуральном ряду всё же и достаточно густо. В самом
деле, из теории бесконечных произведений 1) известно, что стрем-
ление к нулю произведения
при неограничено
т. е. тому,
(1
(1-1) (1
возрастающем п равносильно расходимости ряда
что сумма
неограниченно возрастает с возрастанием п; в этом отношении ряд
простых чисел ведёт себя так же, как весь натуральный ряд рас-
ходимость «гармонического» ряда 1 4- В- + 4- -4— )
в противоположность, например, ряду «полных квадратов» 12 22
32,
1
сходится . Это показывает, что простые числа
ряд
в некотором смысле расположены «гуще», чем полные квадраты.
Все эти элементарно доказуемые факты, установленные примерно
к началу XIX столетия, дают, однако, ещё только весьма смутное
представление о густоте расположения простых чисел в натураль-
ном ряду. Учёные той эпохи давно уже лелеяли мечту о завоевании
гораздо более значительном: найти для функции •х(п) (число простых
1) См. А. Я. Х и 11 ч и п, Восемь лекций по математическому анализу,
Гостехиздат, 1948.