262

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

где q — целое число. Но вытекающие отсюда соотношения

а

а

показывают, что q есть общий делитель взаимно простых чисел а

и Ь; следовательно, и что и требовалось доказать.

Теперь уже совсем легко установить теорему 2. Так как, по

предположению, ас есть общее кратное взаимно простых чисел а и

Ь, то ас делится на наименьшее общее кратное этих чисел, кото-

рое, как мы только что установили, равно ab. Делимость же ас на ab

равносильна делимости с на Ь, чем теорема 2 и доказана.

S З. О простых числах

Простые числа в теории делимости играют роль первичных, не-

разложимых элементов, из которых путём перемножения затем

создаются все другие натуральные числа, как этому учит вышеуста-

новленная фундаментальная теорема. Множество простых чисел служит

как бы м уль т и пл икат и в ным (т. е. развивающимся путём пере-

множения) баз и сом натурального ряда. Эта основоположная роль

совокупности простых чисел во все времена привлекала к ней вни-

мание исследователей. Каково это множество, сколько чисел оно

содержит, как эти числа расположены, каким закономерностям под-

чиняется чередование простых и составных чисел в натуральном

ряду? Все эти вопросы естественно вставали перед учёными самых

различных эпох, от античного мира до наших дней, и в значитель-

ной степени они стоят ещё в центре внимания и современной ариф-

метической науки, в особенности потому. что решение их оказа-

лось связанным с чрезвычайно большими трудностями.

Прежде всего здесь, разумеется, встаёт вопрос о том, конечно

или бесконечно множество простых чисел. Важно отметить, что

фундаментальная теорема, доказанная нами выше, ничего об этом

не говорит, по крайней мере непосредственно. Ее утверждение как

будто бы ничем не противоречит ни конечности, ни бесконечности

множества простых чисел.

Эта задача была единственной проблемой теории простых чисел,

которую удалось решить математикам древнего мира. Приведём

простое и остроумное рассуждение Евклида, доказывающее беско-

нечность множества простых чисел; впрочем, идея бесконечности,

столь излюбленная современной наукой, была чужда Евклиду, и он

формулирует свою теорему так: простых чисел имеется больше,

чея любое число их. («Начала Евклида», кн. ИХ, предложение 20.)

Пусть П, П, ..., —любая конечная группа простых чисел.

Требуется доказать, что найдётся простое число р, не входящее

в эту группу. С этой целью рассмотрим число РА- 1, где

.. РК, и обозначим черв р наименьший делитель этого