ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

261

т. е. оба разложения числа п на простые множители полностью

совпадают между собою. Этим фундаментальная теорема теории

делимости полностью доказана.

Мы видим, что ключом к ее доказательству нам служила важ-

ная теорема 2. Все доказательства фундаментальной теоремы так

или иначе базируются на этом предложении; различия их касаются

лишь того пути, каким мы приходим к теореме 2. Выше мы вы-

брали путь, идущий через теорему 1. Методологически этот путь

важен и интересен тем, что он не предполагает известными свой-

ст.ва наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного

двух чисел (для реализации этого пути нет даже надобности в зна-

комстве с этими двумя понятиями); дело в том, что исследование

этих двух понятий с максимальной простотой и прозрачностью про-

водится, как известно, на основе самой фундаментальной теоремы.

Однако методологически интересно показать, что решающая

теорема 2 может быть доказана и совсем иным путём, обходящимся

без теоремы 1 и опирающимся на элементарные свойства наимень-

шего общего кратного двух чисел. Проследим теперь этот путь.

Прежде всего здесь надо установить структуру совокупности

всех общих кратных . двух данных чисел а и Ь, т. е. всех чисел,

делящихся как на а, так и на Ь. Если т— наименьшее положи-

тельное число, делящееся на а и на Ь (т. е. наименьшее общее

кратное чисел а и Ь), а — какое-либо другое общее кратное

тех же чисел, то пусть а r— остаток от деления т'

на т, так что

отсюда

т' — qm.

Так как т' и т оба делятся на а и Ь, то число r также будет

общим кратным чисел а и Ь; но а т есть наименьшее

положительное общее кратное чисел а и Ь. Следовательно,

и т' т. е. всякое общее кратное чисел а и Ь делится на

т. Так как, очевидно, и обратно — всякое число вида qm есть

общее кратное чисел а и Ь, то совокупность общих кратных

чисел а и Ь совпадает с СОВОКУПНОСТЬЮ чисел, кратных неко-

торого одного числа т (которое есть н а им е нь ш ее общее крат-

ное чисел а и Ь).

Теперь мы покажем, что наименьшее общее кратное двух взаимно

простых чисел равно их произведению.

Пусть числа а и Ь взаимно просты и т— их наименьшее общее

кратное. Так как произведение ab есть общее кратное чисел а и

Ь, то согласно предыдущему

ab qm,