260

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

пяти и вообще любому числу сомножителей. Таким образом, мы

можем считать установленным следующее общее предложение,

которое и было целью всех предшествующих рассуждений:

Т е о рем а З. Если произведение нес,'СОЛЫСИХ цнсел Делится на

простое цисло р, то по меньшей жере один из сомножителей

Делится на р.

Теорема 3 позволяет уже легко установить единственность

разложения любого натурального числа (кроме 1) на простые

r==s,

множители. В самом деле, пусть мы имеем:

П=Р1Р2 Ъ,

(2)

где все и все qj— простые числа; требуется доказать, что числа

[12, . , лишь порядком расположения могут отличаться от

pr. Другими словами, если предположить, что

чисел рт, р,2, ... ,

как числа Pi, так и числа qj расположены в порядке возрастания

< qs), .то требуется просто

доказать, что и Именно так мы и по-

ступим.

Докажем сначала, что В самом деле, пусть, например,

91 >р1. В силу равенства (2) произведение ..qs делится на

поэтому в силу теоремы З по меньшей мере одно из чисел qj

делится на ря•, но все qj— простые числа, а потому то из них,

которое делится на /)1, должно просто совпадать с р,; это же не-

возможно, так как согласно нашему предположению

Итак, рт но тогда соотношение (2) даёт:

Очевидно, отсюда мы можем, в точности повторяя только что про-

ведённое рассуждение, доказать, что Ъ; это же даёт:

откуда и т. д. Этот процесс мы можем продолжать до тех

пор, покуда и налево, и направо у нас ещё сохраняются простые

множители; он обрывается, как только тут или там простые мно-

жители исчерпаны; но очевидно, что это должно наступить налево

и направо одновременно, т. е. что мы должны иметь r==s. В самом

деле, если бы, например, мы имели r

ному доказали бы, что р, р,

сокращений получили бы:

1=qr+1

, и после

что очевидным образом неверно.

Итак,