238

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Можно считать, что целое число К удовлетворяет условию

1. В самом деле, деля К на п, находим: К1,

где q и Т — целые числа и Тогда

'2qit;

но так как аргумент числа х определён лишь с точностью до крат-

ного от то можно считать, что он равен

Итак,

—f-i sin

Мы доказали, что если существует значение г, то оно совпа- •

дает с одним из п чисел 4, определяемых равенством (5).

Легко показать, что все числа 4, определяемые из (5), действи-

тельно являются значениями и притом даже при любом целом К.

В самом деле,

(cos

а -4- 2hqt

sin —

r (cos а А— i а)

Наконец, покажем, что все п чисел при 1, 2, .

различны между собой. Если то по теореме из и

4 следует

а -4- 2hqt

а —1— 2l•ry

+ 2ттс

с целым т, откуда Но из 0 «-К<п и сле-

дует т. е. lmnl

то т что невозможно. Теорема доказана.

Из равенств (5) ясно, какой геометрический смысл имеют значе-

ния ург при О. Так как модуль у всех чисел общий, то

точки, изображающие эти числа, лежат на окружности радиуса у r

с центром в начале координат. Аргументы соседних чисел .гк и

отличаются на

и следовательно, точки, изображающие числа

Zh, лежат в вершинах правильного п-угольника, вписанного в упо-

мянутую окружность, причём одна из вершин изображает число

с аргументом

чем однозначно определяется положение осталь-

ных вершин.

После выяснения геометрического смысла значений получен-

ные прежде (5 26, теорема 4) свойства корней из действи тельных

чисел получают наглядное истолкование.