226

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, КОЛЬЦА и ПОЛЯ

Подмножество А упорядоченного множества (и, в частности, рас-

положенного поля) Р называется ограниченным, если существуют

элементы Ь] и b2 из Р такие, что Ь, для любого элемента а

множества А.

Следующие три свойства расположенного поля Р эквивалентны.

а) В поле Р выполнены а1ССИОЯЫ XI и XII.

б) (Дедекин д). Любое сечение поля Р имеет рубеж.

в) (В е И е р ш тр а с с). Любое бесконечное ограниченное яно-

тсество элементов поля Р имеет предельный элемент.

Таким образом, поле действительных чисел аксиоматически можно

определить свойствами и любым из свойств а), б), в). Доказа-

тельство эквивалентности свойств а), б), в) можно найти в книге

И. В. Проскурякова [Ч.

Поле рациональных чисел аксиоматически можно определить

как простое поле характеристики нуль. В самом деле, любое такое

поле совпадает со своим подполем рациональных элементов и, сле-

довательно, изоморфно полю рациональных чисел Г (5 23, теоре-

ма 2).

Кольцо целых чисел аксиоматически можно определить, как

кольцо R с единицей е, не содержащее отличного от него под-

кольца с единицей и обладающее тем свойством, что пе#О для

любого натурального • числа п. В самом деле, легко показать, что

множество всех элементов вида пе изоморфно множеству N нату-

ральных чисел относительно сложения и умножения. Следовательно,

кольцо R содержит подкольцо Ro, изоморфное кольцу целых чисел

С (S 20, теорема З). Но так как Ro содержит единицу, то оно

совпадает с R. Таким образом, R изоморфно кольцу целых чисел.