ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

209

при любом П>По, т. е. последовательность }

также положи-

тельна.

Итак, определение 2 действительно вводит во множество Do опе-

рацию сложения и умножения, и положительность класса из Do опре-

деляется любой из его последовательностей.

Т е о р ем а 4. Мноусество Do при операциях сложения и умно-

этения и определении ПОЛОО/СИ1пеЛЬНОСТИ, указанных в определе-

нин 2, является непрерывным полем (5 24, определение 6).

Дока за тель ст во. Нужно проверить выполнение в Do всех

свойств I—XiI (см. S 7, определение 1, S 8, определение 1, S 10,

определения 1 и З, S 24, определение 5). Так как операции (2) и

(З) над последовательностями определены через операции над их

элементами, то из выполнения свойств кольца I—VI для рациональ-

ных чисел следует их выполнение для множества М, а потому и

для множества Г)о. Итак, М и Do — кольца.

Выясним, какой смысл имеют в ко.чьце нуль и противополож-

ный элемент. Очевидно, что нулём в Do будет класс, содержащий

фундаментальную последовательность О } 0, О, . Мы его обо-

значим через (О). Этот класс сос гоит из всех последовательностей

эквивалентных { 0 }, т. е. таких, для которых lim а

п —0. МЫ

будем называть их нулевыми последовательностями. Любая после-

довательность класса (О) эквивалентна { 0 } и потому нулевая. Обратно,

любая нулевая последовательность, как сходящаяся, фундаментальна

и эквивалентна а потому принадлежит классу (О).

Класс

—а, противоположный классу а, содержащему последова-

тельность ап }, содержит, очевидно, последовательность

противоположную ап ,

и все последовательности, эквивалентные

1 —ап }. Из ап

Ьп)] легко следует, что если

, то г—

а — Ьп у, и обратно. Таким образом,

— и. состоит из всех последовательностей, противоположных

класс

последовательностям класса и.

Свойство VII поля уже не следует, как выше I—VI, прямо из

аналогичного свойства чисел. В самом деле, если не все члены после-

довательности { ап } из М равны нулю, то отлична от после-

довательности О }, являющейся нулём кольца М. Но если ещё

а, то уравнение { ап Ьп} при Ь! ф О неразрешимо.

Следовательно, кольцо М не является полем. Тем не менее [А) бу-

дет полем. Пусть и и р— классы из ГЛ, причём а * (О). Берём { а

из и и { } из р. Существуют рациональное число и нату-

ральное такие, что при любом n>nt. Допуская про-

aql при

тивное, для любого на1\дём р такое, что ап

любых п, q>p. Затем берём такое, что laql<—

получим

14 Энциклопедия, кн. 1.

. Тогда