ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

213

В самом деле, для любого из Do берём рациональное

такое, что (е) и натуральное п п такое, что Тогда

(ап) при любом п>по. Таким образом, по-

следовательность {ап} также сходится и притом

lim ап lim (ап) а.

Этим доказано свойство XII, а значит, и теорема 4.

Поле Do с точностью до изоморфизма и является полем дей-

ствительных чисел. Однако оно не содержит поля рациональных

чисе,ц Г, от которого мы отправлялись при его построении. Эле-

ментами поля D являются классы эквивалентных фундаментальных

последовательностей рациональных чисел, но не сами рациональ-

ные числа.

Но Bbl[lIe мы видели, что Ц) содержит подполе Г' классов, со-

держащих стационарные последовательности, изоморфное Г. Поэтому

существует поле D, содержащее поле Г в качестве подполя и изо-

морфное (относительно сложения и умножения) полю D (S 9, тео-

рема 22. Перенесём отношения порядка с Do на D при помощи дан-

ного изоморфного отображения f поля D на Do. Именно, элемент d

поля D будем считать положительным, если соответствующий ему

элемент поля [Эо положителен. Тогда поле D будет рас-

положено, и данный изоморфизм сохраняет отношения порядка.

Порядок D порождает порядок его подполя Г, совпадающий с опре-

делённым прежде для рациональных чисел, ибо поле Г вообще до-

пускает единственное расположение (S 23, теорема 1). При изомор-

физме D и Do поле Г изоморфно отображается на некотором под-

поле Г” из Do. Но так как Г изоморфно Г' и Г допускает

единственное изоморфное отображение в Do (5 23, теорема 2), то

Г” и при изоморфизме D и Д) рациональному числу а из Г

соответствует класс (а) из Г'.

Из сохранения отношений порядка при изоморфизме D и Ц) сле-

дуют для поля D: сохранение всех свойств расположения, в част-

ности выполнение аксиомы Архимеда, совпадение фундаменталь-

ности и сходимости последовательностей и полнота. Стало быть,

из непрерывности поля [-)о следует непрерывность поля D.

Итак, поле действительных чисел D построено. Его элементами,

т. е. действительными числами, являются, во-первых, все рациональные

числа и, во-вторых, классй эквивалентных и не имеющих рационального

предела фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Из свойств поля Dn вытекает, что любая фундаментальная по-

следовательность ап} рациональных чисел имеет своим пределом

в D либо рациональное число, либо тот класс, которому прина-

длежит данная последовательность ап