924

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬ1(А И ПОЛЯ

V111. (А кси ома мощност и.) Множество D содержит по

крайней мере два различных элемента.

Условия 1— VHI означают, что D— поле (S 8, определение 1).

Стало быть, определено понятие подполя поля D (S 8, определе-

ние З). Далее:

Ж. Для любого элемента а лшоэюества D имеет лесто один

и только один из трёх случаев: а положителен, а

лотсителен.

Х. Сулла и произведение элементов полотси-

те.љны.

Условия I—X о.значают, что D — расположенное поле. Стало

быть, определяя a>b, если элемент а— Ь положителен, превратим

D в упорядоченное множество (S 10, теорема 1). Далее:

XI. (Аксиома Архимеда.) Для любых элементов а и Ь

множества D, где существует натуральное дисло п такое,

что

Условия I—XI означают, что D — архимедовски расположенное

поле. Стало быть, в D определены понятия предела последователь-

ности и фундаментальнои последовательности, не меняющиеся при

замене D любым его подполем, содержащим все рассматриваемые

элементы (S 24, теорема 5). Наконец:

XI[. (Л кси ома полнот ы.) Любая фундаментальная после-

Довательность множества D имеет предел в этол

лно•лсестве.

Условия I—XII означают, что D — непрерывное поле (5 24, оп-

ределение 6).

Отметим, что это определение предполагает уже построенные

натуральные числа. Иначе аксиома Архимеда XI теряет смысл. Ниже

мы приведём друтую систему аксиом, не опирающуюся на понятие

натурального числа.

Возникает вопрос о непротиворечивости, полноте и независи-

мости системы аксиом l—XIl.

Для доказательства непротиворечивости системы аксиом I—XII

достаточно найти для неё хотя бы одну интерпретацию (5 17, опре-

деление 1). Но поле Do, построенное в S 25 (определение 2, тео-

рема 4), даёт такую интерпретацию. Правда, построение поля

опирается на поле рациональных чисел, но, беря конструктивное

определение его, т. е. поле Го (5 22, определение 2), где за кольцо

целых чисел принято его конструктивное определение Со (5 20,

определение 2), мы сводим построение поля Do к натуральным чи-

слам. Этим непротиворечивость системы аксиом I—XlI сведена

к непротиворечивости (в смысле существования интерпретации) си-

стемы аксиом для натуральных чисел.

Для доказательства полноты системы аксиом I—XII достаточно

показать, что две любые интерпретации этой системы изоморфны

(5 17, определение З). Но это, по сути дела, нами уже доказано.