ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

217

тельным числом х действительное число, равное отношению линии

синусов к радиусу круга при известном из тригонометрии согла-

шении о знаках. Также определяются другие тригонометрические

функции. Подчёркиваем ещё раз, что трудность принципиального

характера при таком определении тригонометрических функций

лежит в задаче об измерении дуг окружности, которая разрешима

в поле действительных чисел благодаря непрерывности поля 1).

Отметим, что соответствие между углами и их радианными

мерами таково, что сумме углов а-}-р соответствует сумма .х-А—у

их радианных мер и произведению аа угла а на число а соответ-

ствует произведение ах радианной меры х угла на то же число а.

Отсюда можно вывести, что все тригонометрические формулы, дока-

занные для функций углов, обтают-

ся верными для функций от радиан-

ных мер этих углов.

Для доказательства непрерывно- .

сти sin х убедимся, что : х < ] х !

при любом действительном х. Так

как sin sinx, то доста-

точно рассмотреть числа а

так как isinxl< 1, то достаточно

рассмотреть числа х, для которых

. Эти углы лежат в пер-

вой четверти. Очевидно, линия сину-

сов МР равна половине хорды MN,

стягивающей дугу MAN 2х

Рис. 1.

(рис. 1). Но все ломаные, вписанные в дугу MAN, длиннее хорды

MN. А потому длина 2х дуги МАМ как предел последовательности

длин вписанных хорд не меньше длины хорды MN.

«х, т. е. sinx

Итак, 2х,

2

Поэтому sinx lxl .

Пусть лано действительное» число Е Положим: ; — Е

Тогда, применяя формулу

sin а — sin р 2 cos

• sin

2¯

2

следует:

и неравенство cosa 1, находим, что из х— хо

. sin

2 cos

sinx—sinxo

что и доказывает непрерывность sin х.

1) В курсах математического анализа даётся другое определение этих

функций (с помощью бесконечных рядов), не опирающееся. на измерение

дуг и на геометрию вообще.