ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

231

ЧТО В ЭТО ПОЛе МОЖНО ВКЛЮЧИТЬ ДеЙСТВИТеЛЬНЫе ЧИСЛа ЧТО

символ a4-bi в новом поле будет совпадать с суммой а и произве-

дения Ь на i. Такое построение ввиду неясности смысла, придавае-

мого символу i, может показаться слишком формальным. Поэтому

мы поступим несколько иначе. по идее, приведённой ниже, построе-

ние очень близко к упомянутому выше, но все применяемые в нём

символы . имеют впоЛне конкретный смысл.

Конструкция одного из изоморфных полей комплексных чисел

подсказывается теоремой 1. В самом деле, каждый элемент искомого

поля должен иметь вид а bi, т. е. определяется парой действи-

тельных чисел а, Ь, причём разным парам соответствуют и разные

элементы. Таким образом, в данном случае нам не нужно опреде-

лять эквивалентность пар и переходить к классам эквивалентных

пар, как в случае целых или рациональных чисел.

О предел е ние 2. Пусть Ко есть яно,жество всех пар вида

(а, Ь), где а и Ь— Действительные числа, порядок которых суще-

ственен. Сложение и умножение во множестве Ко определяем по

формулам

(а, Ь) (с, — bd, ad -1- bc).

(3)

(4)

Операции в Ко определены так, чтобы им соответствовали те

же операции в искомом поле, которые должны удовлетворять равен-

ствам (2), б), в).

Т е о р е м а 4. Множество Ко с операциями, определёнными по

формулам (3) н (4), является полем.

Доказа тел ь ст во. Надо проверить выполнение в Ко свойств

Ј — VIIl (S 7, определение 1 и S 8, определение 1).

Так как сложение пар сводится к сложению соответствующих

элементов, то свойства 1— III для пар непосредственно вытекают

из соответствующих свойств действительных чисел.

Свойства IV — VI проверяются непосредственно. Проверим, на-

пример, дистрибутивность умножения относительно сложения (свой-

ство VI):

[(а, Ь) + (с, d)] (е, -Г- с, b-l-d) (е, Л —

(а, Ь) (с, _f) 4- (с, d)(e, (ае

Обе окончательно полученные

пары совпадают, чем и доказано VI.