212

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

не меняющие смысла при переходе к подполю (S 24, определения

З и 4, замечание и теорема 5).

Покажем, что если класс а содержит последовательность а

то lim (ап) Пусть ф (0) — элемент поля Do, содержащий по-

следовательность г. Тогда существует рациональное число

при любом т. е.

и натуральное т такие, что еп

Берём рациональное число е' такое, что (например,

). Тогда (е) 4 Е. Так как последовательность ап } фун-

даментальна, то существует натуральное по такое, что а р— а ч

при любых р, но. 1 Тоэтому для данного n>1lo будем иметь:

при любых р, q>no. Переходя при дан-

и ап—а

ном п от последовательностей к содержащим их классам, по дока-

занному выше получим:

— (ан) И (ап) — ц

откуда при любом п>по•, это и означает, что

lim (ап)

Мы доказали, что любая фундаментальная последовательность

элементов (ап) подполя Г ' имеет предел в Do. Отсюда уже нетрудно

вывести полноту поля Do. Пусть ап

} — любая фундаментальная по-

следовательность элементов поля Do. Так как по доказанному каж-

лый класс равен пределу классов из подполя 1”, то для данного

п [ввиду (Щ) существует элемент (ап) из Г такой, что

(а п— (ап) ) . Покажем, что последовательность { (ап) } фунда-

ментальна. Пусть (0) — любой элемент Do. Как было показано выше,

из аксиомы Архимеда вытекает, что существует рациональное число

з

такое, что (е) Существует натуральное 1l1>

или

е

С- . Далее, в силу фундаментальности Ъ, } существует натуральное

(д) при любых р, q>n.z. Если по

такое, что [а

большее из чисел пл и п,д, то

(а ч) < (ар) — ар

(ар)

при любых р, q>no.

Из изоморфизма полей Г и Г ' (сохраняющего, очевидно, отноше-

ния порядка) вытекает, что последовательность ап рациональных

чисел сама фундаментальна. Пусть а— класс из Do, содержаншй {ап}.

Выше было доказано, что lim Но lim [(ап )— О.