208

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬТО И ПОЛЯ

По теореме из S 19 это отношение определяет разбиение мно-

жества М на классы эквивалентных последова гельностей. Будем

обозначать эти классы малыми греческими буквами а, р, Т, Г, ...

Определе ние 2. Пусть есть множество всех классов,

эквивалентных последова1пельностей множества М. Суммой (про-

изведением) двух классов а и (В назовём тот класс а А— р (соот-

веупственно КОТОРЫЙ содержит сумму (произведение) последо-

вательностн класса а н последовательности класса р. Класс и

назовём положит€льныж, если последовательность этого класса

положительна.

Покажем. что сумма, произведение и свойство класса быть поло-

жительным не зависят от выбора представителей данных классов.

Пусть

Тогда

lim (ап — и lim (сп — 0,

откуда

lim [(ап -1- сп) — (bn А— dn)] lim (ап — Ьп) -1— lim (сп — dn) — О,

Так как последовательность с

} — фундаментальная, то она

ограничена. Поэтому существует рациональное число с такое,

что при любом п. Пусть теперь дано рациональное число

Существует по такое, что ад—Ьп при любом П>По.

Тогда

апсп — Ьпсп а

при любом п>по. Следовательно, lim (апсп — т. е.

апсп }r-»., {bncn

Применяя доказанное и очевидную коммутативность умножения

последовательностей, находи.м:

{cndn

Наконец, если последовательность { ап} положительна и ап

{ Ьп }, то существует рациональное и натуральное такие,

что { ап при любом п)» п,. Далее, для данного Е существует

е при любом п >п,. Если по

ПО такое, ЧТО 1 ап

большее

из чисел п,д, то, применяя свойство абсолютных вејшчик

lbll

а bl>llal

10, (3)], находим

lbnl=

а