190

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Искомое отношение отрезков MN и АВ естественно считать

лежтцим между ап и Ьп. Числа каждой из этих последовательностей

всё более приближаются к этому отношению. Каково бы ни было

данное положительное рациональное число Е, можно найти такое

натуральное число по , что числа ап и Ьп различаются между собой

(а значит, и от искомого отношения) меньше чем на Е при любом

п по. В самом деле, существует по, для которого (5 23,

1

при П>По.

теорема 5), а потому Ьп

Пусть надо найти а, где а — положительное рациональное

и 1 — натуральное число. Будем говорить лишь о положитель-

ном значении корня. Берём любое целое число п Так как

то по аксиоме Архимеда существует натуральное число т

такое, что т • 1. для любого рационального и лю-

бого натурального К имеем: -1>1 (5 10, теорема 4), откуда

bh>b. Поэтому

(Т • 10-it)h • 10-П>а-4- 1

Множество А тех целых чисел l, для которых '(l • 10-'i)h < а,

ограничено сверху и непусто, так как содержит число 0. Поэтому

оно содержит наибольшее число ап. Если

10

то

Естественно считать, что искомый корень у- 7 лежит между ап и bn.

10- п. Так как числа вида т , 10¯п являются также

Далее, Ьп

числами вида

то

Так как

то

откуда

• 10 п _

• • Ь; • 10

ащ-т

+1 10 • b'n,

п-[.1 ап4.1

• < 10 • Ь; •

bB+1 b'

Итак, мы снова получаем последовательности ап и bn с теми же

свойствами (1). Мы принимаем, что искомый корень при любом п

лежит между ап и Ь . О приближении этих чисел к значению корня

можно сказать точно то же самое, что было сказано в случае отно-

шения отре.зков.