ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

205

отображение такого рода. При изоморфизме д поле рациональных

чисел Г, содержащееся в ГЛ, отобразится изоморфно на поле рацио-

нальных элементов поля Т, причём рациональное число r перейдет

в элемент те, где е— единица поля [Д [S 23, теорема 2]. Но D2

содержит Г, т. е. 1, • 1 Следовательно, g(r)—

—r для

любого рационального r. Так как отображение д отлично от f, то

существует элемент dl из Г), такой, что а, 4:

Найдём рациональное число с, лежащее между а, и Т. Пусть, напри-

мер, Рассуждая, как и в доказательстве теоремы

пункт б), найдём сначала натуральное п такое, что

. Елли

затем целое число т такое, что

то получим:

а, с + а, -1- (Ь, — 02)

п

Так как и f по доказанному сохраняет отношения порядка,

то из следует: Щ Так как д

с и д также

сохраняет порядок, то

что противоречит построению числа с.

До сих пор мы не использовали полноты поля Ц. Стало быть,

всё доказанное выше верно для любого архимедовски расположен-

ного поля ГЛ. Нам осталось доказать, что построенное отображе-

ние f является отображением поля [-)1 на всё поле Т. Для этого

нужна полнота поля Г-)1. Надо для любого элемента d2 из ГЛ найти

элемент d1 из ГЛ такой, что Так как архимедовски рас-

положено, то по теореме I ап с рациональными ап. После,

довательность {ап}, фундаментальная в ГЛ, будет фундаментальной

в гс а следовательно, и в поле Г), с Г. Так как полно,

то существует dl ап в ГЛ. по определению .f тогда

Теорема доказана.

Т е о р е м а З. Любое архияеДовски расположенное поле Р изо-

морфно некоторому подполю поля Действительных чисел D-

Существует лишь одно изоморфное отображение Р в Г), сохра-

няющее отношения порядка. В частности, поле Р только одни

способом, а именно 1пожДественно, может бы1пь изоморфно и

с сохранением порядка отображено само на себя 1).

1) В отличие от теоремы 2 условие о сохранении порядка здесь опустить

нелызя. В самом деле, пусть Р— поле всех чисел вида a-l-bV2 с рациональ-

ными а и Ь. Отображение а ФЬ а— Ь 2 изоморфно относительно

сложения и умножения и отлично от тождественного. Но оно не сохраняет

порядка, заданного в поле Р, как подполе поля действительных чисел, ибо

1 + й 00, а 2<0.