ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
185
всех рациональных чисел, а, например, чисел, выражаемых конеч-
ными десятичными дробями. В самом деле, во всех измерениях и
вычислениях прикладного характера достаточно знать результат вы-
числения лишь с некоторой определённой степенью точности. При
этом нужной точности можно достигнуть, используя лишь числа
указанного рода. для точного уяснения смысла этого утвер•жде-
ния введём такое понятие.
О п ре дел е н и е. Пусть дано натуральное число п. Все рацио-
нальные числа вида пир, где т и К — любые целые числа, назы-
ваются п-ицно рациональными или П-рационаЛЬНЫМН.
При п З, 10 получим двоично-рациональные, троично-рацио-
нальные или десятично-рациональные (т. е. десятичные дроби) числа.
При найдём, что все целые числа п-рациональны для лю-
бого п.
То, что для всех приближённых вычислений рациональные числа
можно заменить п-рациональными, вытекает из следующих двух
предложений, которые мы докажем не для поля рациональных чи-
сел Г, а в более общем виде, так как в этом виде они нам по-
надобятся в следующей главе.
Т е ор ем а 4. Пусть Р— архимедовски расположенное поле,
содержащее поле рациональных чисел Г, а — элемент Р н п— на-
туральное число, большее единицы. Тогда для любого целого числа К
существует целое число т такое, что
Доказательство. Из п следует Так как
поле Р архимедовски расположено, то существуют натуральные
числа и такие, что и [270— а, откуда
а.
Следовательно, множество А целых чисел l, для которых lnh
— [2, т. е. непусто, и ограничено сверху, так как из
содержит
следует Поэтому А содержит наибольшее число т
(5 21, теорема б). Так как 1п принадлежит А и 1 уже не
принадлежит А, то по определению множества А имеем:
что и требовалось доказать.
Т е ор е ма 5. Пусть Р— архимедовски расположенное поле,
содержащее поле рациональных чисел Г, п— натуральное число,
большее единицы. Для любого полотситсльного элемента а поля Р
существует натуральное цисло К такое,
Доказа тел ь ст во. Сначала докажем
для любого натурального числа п
и
что
неравенство
(3)
любого целого числа К.