ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
183
Тогда (ае)х==а(ех)==ах, т. е. произведение ах
откуда ае
в новом смысле при целом а совпадает с произведением в смысле S 7.
Элементы ае при целом а называются целыми, а при рациональ-
ном а — рациональными элементами поля Р.
Т е о рема 2. Любое поле Q характеристики О содержит
одно и только одно подполе П, изоморфное полю рациональных
чисел Г. Это подполе 11 состоит из всех рациональных элемен-
тов ае поля Q, и существует только одно изоморфное отобра-
женне П на Г, а иженно, переводящее элемент ае в число а.
В частности, поле Г не имеет отличных от него самого под-
полей, т. е. является простын полем (S 8, определение 2) н до-
пускает лишь одно изожорфчое отображение на себя, а именно,
тождественное. Поле Q изоморфно полю Р, содержащему Г
в качестве подполя, причёл любое • изоморфное отображение Q
на Р сохраняет указанное выше отображение П на Г. Если
поле Q расположено, то и поле Р может быть расположено так,
ч1п0 изоморфизя Р и Q сохраняет отношение порядка.
Доказатель ст во. Для любых целых чисел т и п имеем
а)
те —1- пе (т —l— п) е, (те) (пе) (1пп) е.
Так как характеристика поля Q равна нулю, то пе 0 для любого
целого п # О. Если т * п, то 0 и О.
Таким образом,. соответствие п пе между кольцом С целых
чисел и множеством S целых элементов поля Q взаимно однозначно
и в силу а) изоморфно.
Точно так же из соотношений а) и правил сложения и умноже-
ния частных б), в) (5 8, теорема З) имеем для любых рациональных
равенства
ае -1— (а -1- Ь) е, (ае) (be) (ab) е,
6)
ибо
(ае) (be)
Если а
[е
те
те
пе
(Ке) (пе) -1- (le) (те)
(le) (пе)
(Кп -4- [т) е
(Ке) (те)
(Кт) е
(ab) е.
Cln) е
(le) (пе)
$0, то К $0 и
Отсюда, как выше, если а Ь, то ае be, и, следовательно,
отображение а ае поля Г на множество П взаимно однозначно
и в силу б) изоморфно. Так как Г— поле, то и lI будет полем
(S 9, теорема 1). Пусть поле Г каким угодно образом отображено
изоморфно на некоторое подполе 11' поля Q. Числу соответствует
тогда единица е из Q, а потому по свойствам изоморфизма для