ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

чисел ап и Ьп. Но из ап — с<Ьп следует, что для любого Е

существует по такое, что и тогда при п > п о будет:

и аналогично Ь

lirn lim bn с.

197

Итак, каждый раз, как задача имеет решение, она решается пре-

дельным переходом.

Обратно, если, например, последовательность {ап} имеет рацио-

нальный предел с, то и lim Ь

п причём число с решает данную

заЛачу. В самом деле, из lim а

п следует ап с < bn для любого п.

Иначе при некотором будет ап и при любом имеем:

ап>ап1 1ап

или же при некотором п, будет и при любом п>П2 имеем:

что противоречит определению предела. Но из а €c

мы видели, следует lim

То, что число с решает поставленную задачу, будет для извле-

чения корня следовать из более общей теоремы и притом сра.зу

для всех действительных чисел. Здесь мы докажем, что если по-

строенные в начале параграфа для рационального числа и на-

турального числа I последовательности рациональных чисел {ап}

и {bn} имеют рациональный предел с, то с

Предположим, что

ck

Следовательно, существует натуральное число по такое, что bh —

при любом п>по. Но из следует bh>ch.

Поэтому

откуда bk что противоречит построению числа Ьп. Так же

доказывается, что не имеет места неравенство ск а. Таким об-

разом, с 1/7 •

Если рациональное число а таково, что не существует ра-

к— а (см. конец S 23), то по-

ционального числа с, для которого с

следовательности {ап} и {bn}, построенные для этих а и К, не имеют

предела в поле рациональных чисел, хотя являются фундаментальными.

В случае отношения отрезков надо доказать, что если построен-

ные для отрезков АВ и MN последовательности рациональных чи-

сел {ап} и {Ьп} сходятся к рациональному числу с, то с и будет

отношением этих отрезков, т. е. с • Пусть это не так,