ПОПЕ ЛЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

199

нию подполя (S 8, определение З) сохраняется и в поле Р. Обратно,

если а в Р, причём элементы а, Ь, с входят в Р, то и

в Р' будет а ф То же верно для отношения ab — с. Если поле Р

расположено, то этим порождается расположение Р'. Именно, счи-

таем в Р' тогда и только тогда, когда в Р. Легко ви-

деть, что свойства расположения IX и Х (5 10, определение 1) будут

в Р' вьшолнены, т. е. Р' будет расположенным полем. Такое свой-

ство расположения Р' быть архимедовским не зависит от того,

рассматриваем ли мы Р' само по себе или как подполе поля Р. В самом

деле, отношение пе>а дая элементов е и а из Р тогда и только

тогда имеет место в Р, когда оно имеет место в Р (при условии

совпадения порядка). В этом смысле понятия, введенные в главе П,

являются абсолютными. Они не зависят от объемлющего поля. Поня-

тия же данного параграфа, указанные выше, зависят от поля, в ко-

тором данные элементы рассматриваются, и в этом смысле эти

понятия относительны. Так, отношение lim означает, что для

любого элемента из поля Р существует натуральное число

пп такое, что ап—а при любом п>по. Определение фунда-

ментальной последовательности также содержит упоминание любого

элемента Е поля Р. Но запас этих элементов Е зависит от выбора

поля Р, и нет основания ожидать, что если все эти элементы после-

довательности {а } и а входят в подполе Р' поля Р, то смысл отно-

шения 1im а

и свойство фундаментальности последовательности

{ап} в Р и в Р' будут совпадать. Ясно лишь, что из выполнения

одного из условий в Р следует его выполнение в Р, ибо то, что

верно для любого Е из Р и для данных элементов из Р,

останется верным, в частности, и для любого из Р; но

обратного заключить нельзя. Покажем на примере, что это действи-

тельно так.

Пусть Р— поле рациональных функций (т- е. алгебраических

где f (х) и д (х) многочлены с рациональными коэф-

дробей)

фициентами. Считая функцию

положительной, если старшие

коэффициенты многочленов / (х) и д(х) имеют одинаковые знаки,

получим расположение поля Р. Оно не будет архимедовским, так

как при любом натуральном п будет х— п—

откуда

п. Итак, х больше всех рациональных чисел. Если

рационально, то и рационально и а 1 Умножая на

а

найдём Итак,

меньше всех положительных рацио-

х

х

нальных чисел. Поле Р содержит подполе Г рациональных чисел.

В Г последовательность

сходится к числу О и,

следовательно, фундаментальна, но в поле Р будет

при любом п, и О уже не будет пределом этой последова тельности.