200

ПОНЯТИЯ множНствл, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

В Р она воо(яце не может иметь предела, так как не будет

фундаментальной. В самом деле, при р число

и рационально. Таким образом

Легко видеть, что в

поле Р последовательность рациональных чисел фундаментальна

тогда и только тогда, когда она становится стационарной, т. е.

существует рациональное а и по такие, что при лю-

бом п > по. Тогда, очевидно, lim Таким образом, перенося

операцию предельного перехода с поля Р на подполе Г, мы по-

лучим полное поле, хотя Г неполно в смысле данного выше опре-

деления 5.

Тем не менее в одном случае введенные в этом параграфе

понятия остаются абсолютными. Именно:

Те о р ем а 5. Для того чтобы понятия предела и фундамен-

тальной последовательности в поле Р совпадали с теми же поня-

тиями в „тобол его подполе Р', необходимо и Достаточно, чтобы

расположение поля Р было архияеДовски.и 1).

До каз а т ель с т в о. Если поле Р расположено неархимедовски,

то сущес твует элемент с такой, что для любого натурального

п. Так как поле рациональных чисел Г архимедовски расположено,

то а для любого рационального а. Тогда при а и рациональном,

, т. е. 0 где

умножая а на —>О, найдём — <

ас

а

— — любое рациональное положительное число. Очевидно, после-

а

доћательность

рациональных чисел в поле Г

сходится к числу О и потому фундаментальна. Но та же последо-

вательность в поле Р не является фундаментальной и потому не

имеет предела. В самом деле, берём: Тогда при р q

будет:

вом

доказана.

Стало б

ыть не существует числа по со свойст-

R е при любых р и q, ббльших по. Необходимость

Пусть теперь поле Р архимедовски расположено. Покажем неза-

висимость свойства поуледовательности Ran} быть сходящейся или

1) Из доказательства этой теоремы следует, что архимедовость располо-

жения поля Р необходима даже для того, чтобы понятия предела и фунда-

ментальпой последовательности совпадали в поле Р и содержащемся в пём

поле рациональных чисел Г. Другими словами, если фундаментальные и

сходящиеся последовательности в ноле Г остаются такими же и в поле Р,

то поле Р архимедовски расположено. Этим мы воспользуемся в начале сле-

дующего параграфа.