ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

201

фундаментальной от подполя содержащего элементы ап и (для

случая сходимости) предел а п. Из выполнения этих свойств

в Р следует их выполнение в Р'. Пусть, например, lim в р.

Покажем, что то же будет и в Р. Берём любой элемент из

Р. Так как Р архимедовски расположено, то существует натураль-

ное п , откуда О Число е'>О входит в любое

подполе поля Р, а следовательно, и в Р'. Так как в Р' дано lim а

при лю-

то существует натуральное по такое, что ап

бом П>По. Это означает, что lim также и в поле Р. Тео-

рема доказана.

О н р е де л е ни е 6. Полное, архимедовски располоэюенное поле

называе1пся непрерывным.

В непрерывном поле задачи об отношении отрезков и извлече-

нии корня из положительного элемента всегда разрешимы. К задаче

об извлечении корня мы ещё вернемся в S 26. Скажем несколько

слов об отрезков. Если бы нам удалось расширить поло

рациональных чисел Г до непрерывного поля Р,- то по последней

теореме последовательности рациональных чисел Ка } и {Ьп}, постро-

онные выше для данных отрезков АВ и ММ, были бы фундамен-

тальными не только в Г, но и в Р. Так как поле Р полно, то они

имели бы общий предел с [теорема 2, а). Элемент с по определе-

нию можно принять за отношение данных отрезков, т. е. считать,

что MN: или АВ. Это новое определение отноше-

ния в случае соизмеримых отрезков согласуется, как выше пока-

зано, с прежним определением (см. конец S 23). Но, в то время

как прежнее определение годилось лишь для соизмеримых отрезков,

новое определение даёт определённый элемент поля Р для любых

отрезков независимо от их соизмеримости. В этом смысле задача

об отношении отрезков разрешима в непрерывном поле Р. Мы рас-

смотрели эту задачу лишь для иллюстрации важности понятия непре-

рывного поля и не можем остановиться на этой геометрической

задаче подробнее.

Заметим уже без доказательства, что определенное выше отно-

шоние отрезков обладает всеми нужными свойствами. Именно, для

любых отрезков АВ и CD и любых элементов и непре-

рывного поля Р будет:

а)

6)

в)

из следует: с• АВ;

Далее, для любого отрезка АВ и любого элемента из Р суще-

ствует отрезок MN такой, что MN: АВ—с.

К задаче о длине отрезка сводится задача о длине окружности.

Мы строим две последовательности правильных многоугольни-

ков (вписанных и описанных) путём удвоения числа сторон. Зная