202

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

отношение отрезков, мы можем найти периметры а и п-го

вписанного и п-го описанного многоугольника. Известными из

школы рассуждениями можно показать, что а,

Далее ап<Ьп и lim(b —

Отсюда легко вывести, что обе последовательности, { ап и bn у,

элементов поля Р фундаментальны и в силу полноты Р имеют в нем

общий предел с. Элемент с поля Р по определению принимается

за длину окружности- Аналогично определяется длина дуги даннои

окружности- Можно показать, что длина дуги заключена между

нульм и длиной окружности с и, обратно, для каждого элемента с'

поля Р такого, что можно найти дугу данной окруж-

ности длины В этом смысле задача о длине дуги окружности

также решается в непрерывном поле Р.

В следующем параграфе мы увидим, что непрерывное поле и

будет полем действительных чисел.

S 25. Определение поля действительных чисел

В поле рациональных чисел Г не всегда выполнима операция

предельного перехода для фундаментальной последовательности,“

т. е. поле Г не явЛяотся полным (S 24, теорема 4)- Следуя общему

плану расширения числовых совокупностей, намеченному в S 18,

мы расширим поле Г до нового поля D, в котором было бы опре-

делено расположение и любая фундаментальная последовательность

имела бы предел. При этом мы хотим, чтобы операция предель-

ного перехода, не всегда выполнимая в Г для фундаментальных после-

довательностей, в новом поле D для тех же последовательностей

из Г была уже вьшолнима. Стало быть, фундаментальные последо-

вательности из Г должны оставаться фундаментальными и в D.

Это означает, что D должно быть полным и архимедовски распо-

ложенным полем (S 24, теорема 5). Иными словами, D должно

быть непрерывным полем. Как и в случае целых (S 20) и рацио-

нальных (5 22) чисел, мы ищем минимальное расширение с нуж-

ными свойствами. Однако оказывается, что условие минимальности

будет выполнено само собой, так как требование непрерывности

определяет поле однозначно с точностью до изоморфизма. Поэтому

было бы излишним включать в определение требование минималь-

ности- Так, мы приходим к • определению:

О п р е дел е ние 1. [1олел Действительных чисел называется

непрерывное поле D, содержащее в качестве подполя поле рацио-

нальных чисел Г. Элементы поля D называются действительными

числами.

Доказательство существования и единственности поля D, удо-

влетворяющее этому определению, проходит аналогично случаю

кольца целых чисел (5 20) и поля рациональных чисел (S 22). Нач-

нём с доказательства единственнос ти.