196

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ. КОЛЬЦА И поля

Если последовательность имеет предел, то её члены, прибли-

жаясь к этому пределу, должны сближаться между собой по мере

роста их номеров. Дадим точное определение этого свойства после-

довательности.

О п р ед ел ен ие 4. Последовательность {ап} элементов поля Р

называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

если для любого элемента Е из Р существует натуральное

число по (зависящее от е) такое, что\а —aq к Е для Л10быхр и q,

ббльших Но.

Т е о р е ма З. Всякая сходящаяся последовательность элемен-

тов поля Р является фундаментальной.

Доказательство. Пусть lim Для любого из Р

существует натуральное число по такое, что при лю-

бом п>по. Если тогда р>по и q>1lo, то по свойству абсолют-

ных величин [5 10, (3)] найдём:

[а

aq — (ар

т. е. последовательность {ап} — фундаментальная.

Эта теорема даёт необходимый признак сходимости после-

довательности: для того чтобы последовательность была схо-

дящейся, необходимо, чтобы она была фундаментальной. Однако

это условие не для любого поля Р является достаточным. Так,

в поле рациональных чисел, как мы сейчас увидим, существуют

фундаментальные последовательности, не имеющие (в этом поле)

предела.

Вернёмся ещё к задачам об отношении отрезков и извлечении

корня. Для каждой из них мы построили две последовательности

рациональных (даже десятично-рапиональных) чисел ап и Ьп со свой-

ствами (1). Легко видеть, что каждая из них будет фундаменталь-

ной. Для любого рационального Е существует натуральное по такое,

что (S 23, теорема 5). Тогда для любых р и q, где, напри-

мер, р получим:

ар — а Ч [ ар — а Ч bp — ач < bn

о

и аналогично этому

1

Если данная задача имеет решением рациональное число с, то с

должно быть пределом обеих последовательностей {ап} и Rbn}.

В самом деле, в случае отрезков с • • АВ, откуда

. Также ад • АВ АВ, откуда «с. В случае кор-

ней откуда Ьп, так как из ап>с следует

И ИЗ bn

а, что противоречит построению